Русская Википедия:Теорема о прямолинейных образующих однополостного гиперболоида

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две различные прямые, целиком расположенные на этой поверхности.

Доказательство

Рассмотрим прямые <math>L_1</math> и <math>L_2</math>, заданные как линии пересечения плоскостей:

<math>L_1: \quad \alpha \left( {x \over a} - {z \over c} \right) = \beta \left( 1 - {y \over b} \right); \; \beta \left( {x\over a}+{z\over c} \right) = \alpha \left( 1+{y\over b} \right); \; \alpha^2 + \beta^2 \neq 0</math>

<math>L_2: \quad \gamma \left( {x \over a} - {z \over c} \right) = \delta\left( 1 + {y \over b} \right); \; \delta \left( {x\over a}+{z\over c} \right) = \gamma \left( 1-{y\over b} \right); \; \gamma^2 + \delta^2 \neq 0</math>

Прямые <math>L_1</math> и <math>L_2</math> целиком лежат на поверхности (чтобы убедиться в этом, достаточно почленно перемножить уравнения плоскостей). При этом через каждую точку <math>M_0 (X_0,Y_0,Z_0)</math> поверхности проходит единственная прямая из семейства <math>L_1</math> и единственная прямая из семейства <math>L_2</math>. Эти прямые (то есть пары чисел <math>\alpha,\beta</math> и <math>\gamma,\delta</math>) находятся из однородных систем линейных алгебраических уравнений:

<math>\alpha, \beta: \quad \alpha \left( {X_0\over a} - {Z_0\over c} \right) = \beta \left( 1 - {Y_0\over b} \right); \; \beta \left( {X_0\over a}+{Z_0\over c} \right) = \alpha \left( 1+{Y_0\over b} \right)</math>

<math>\gamma, \delta: \quad \gamma \left( {X_0\over a} - {Z_0\over c} \right) = \delta\left( 1 + {Y_0\over b} \right); \; \delta \left( {X_0\over a}+{Z_0\over c} \right) = \gamma \left( 1-{Y_0\over b} \right)</math>

матрицы которых вырождены (то есть системы имеют нетривиальные решения) и имеют ранг, равный 1 (то есть все решения каждой из систем пропорциональны и определяют единственную прямую). Остается добавить, что прямые не совпадают (достаточно проверить неколлинеарность их направляющих векторов).

См. также

• Гиперболоид