Русская Википедия:Теорема о равнобедренном треугольнике
Теорема о равнобедренном треугольнике — классическая теорема геометрии, утверждающая, что углы, противолежащие боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. Эта теорема появляется как предложение 5 книги 1 «Начал» Евклида.
Справедливо и обратное утверждение: если два угла невырожденного треугольника равны, то стороны, противоположные им, также равны. Теорема справедлива в абсолютной геометрии, а значит и в геометрии Лобачевского, она выполняется также в сферической геометрии.
Pons asinorum
Эту теорему, как и (реже) Теорему Пифагора, иногда называют Шаблон:Lang-la[1] — «мост ослов». Словосочетание известно с 1645 г.[2]
Существуют два возможных объяснения такого названия. Одно состоит в том, что чертёж, используемый в доказательстве Евклида напоминал мост. Другое объяснение в том, что это первое серьёзное доказательство в «Началах» Евклида — «ослы» его осилить не могут[1].
Доказательства
Евклида и Прокла
Евклид доказывает дополнительно, что если боковые стороны треугольника продолжить за основание, то углы между продолжениями и основанием тоже равны. То есть, <math>\measuredangle CBF=\measuredangle BCG</math> на чертеже к доказательству Евклида.
Прокл указывает на то, что Евклид никогда не использует это дополнительное утверждение и его доказательство можно немного упростить, проведя вспомогательные отрезки к боковым сторонам треугольника, а не к их продолжениям. Остальная часть доказательства, проходит почти без изменений. Прокл, предположил, что второй вывод может быть использован как обоснование в доказательстве последующего предложения, где Евклид не рассмотрел все случаи.
Доказательство опирается на предыдущее предложение в «Началах» — на то, что сегодня называют признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.
- Доказательство Прокла
Пусть <math>\triangle ABC</math> — равнобедренный треугольник с равными сторонами <math>AB</math> и <math>AC</math>. Отметим произвольную точку <math>D</math> на стороне <math>AB</math> и построим точку <math>E</math> на стороне <math>AC</math> так, что <math>AD=AE</math>. Проведём отрезки <math>DC</math>, <math>BE</math> и <math>DE</math>. Поскольку <math>AD=AE</math>, <math>AB=AC</math> и угол <math>\angle A</math> общий, по равенству двух сторон и угла между ними, <math>\triangle BAE\cong\triangle CAD</math>, а значит равны их соответствующие стороны и углы. Отсюда угол <math>\measuredangle ABE=\measuredangle ACD</math> и <math>\measuredangle AEB=\measuredangle ADC</math> и <math>BE=CD</math>. Поскольку <math>AB=AC</math> и <math>AD=AE</math>, вычитания из равных частей равные получаем <math>BD=CE</math>. Применяя вновь признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, получаем, что <math>\triangle DBE\cong\triangle ECD</math>. Отсюда <math>\measuredangle BDE=\measuredangle CED</math> и <math>\measuredangle BED=\measuredangle CDE</math>. Вычитания из равных частей равные получаем <math>\measuredangle BDC=\measuredangle CEB</math>. Вновь по тому же признаку, получаем, что <math>\triangle BDC\cong\triangle CEB</math>. Следовательно <math>\measuredangle B=\measuredangle C</math>.Шаблон:Ч.т.д.
Папп
Прокл также приводит очень короткое доказательство, приписываемое Паппу. Оно проще и не требует дополнительных построений. В доказательстве применяется признак равенства по двум сторонам и углу между ними к треугольнику и его зеркальному отражению.
- Доказательство Паппа
Пусть <math>\triangle ABC</math> — равнобедренный треугольник с равными сторонами <math>AB</math> и <math>AC</math>. Рассмотрим треугольники <math>ABC</math> и <math>ACB</math>, где <math>ACB</math> считается вторым треугольником с вершинами <math>A</math>, <math>C</math> и <math>B</math>, соответствующими соответственно <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> в исходном треугольнике. Угол <math>\angle A</math> равен самому себе, <math>AB=AC</math> и <math>AC=AB</math>. Следовательно, по двум сторонам и углу между ними <math>\triangle ABC\cong\triangle ACB</math>. В частности, <math>\measuredangle B=\measuredangle C</math>.Шаблон:Ч.т.д.
Другие
Доказательство Паппа иногда сбивает учеников тем, что нужно сравнивать треугольник «с самим собой». Поэтому, часто в учебниках даётся следующее более длинное доказательство. Оно проще чем доказательство Евклида, но использует понятие биссектрисы. В «Началах» построение биссектрисы угла приводится только в предложении 9. Поэтому порядок изложения приходится менять, чтобы избежать возможности кругового рассуждения.
- Доказательство
Пусть <math>\triangle ABC</math> — равнобедренный треугольник с равными сторонами <math>AB</math> и <math>AC</math>. Проведём биссектрису угла <math>\angle A</math>. Пусть <math>X</math> — точка пересечения биссектрисы со стороной <math>BC</math>. Заметим, что <math>\triangle BAX\cong\triangle CAX</math> поскольку <math>\measuredangle BAX=\measuredangle CAX</math>, <math>AB=AC</math> и <math>AX</math> общая сторона. Значит <math>\measuredangle B=\measuredangle C</math>.Шаблон:Ч.т.д.
Лежандр использует подобные конструкции в своих «Éléments de géométrie», но, принимая <math>X</math> как середину <math>BC</math>. Доказательство аналогично, но использует признак равенства треугольников по трём сторонам.
Ссылки
- ↑ 1,0 1,1 Шаблон:Публикация Шаблон:Начало цитатыIt formed at bridge across which fools could not hope to pass, and was therefore known as the pons asinorum, or bridge of fools.¹
…
1. The term is something applied to the Pythagorean Theorem.Шаблон:Конец цитаты - ↑ Шаблон:Cite web
