Русская Википедия:Теорема о рациональных корнях
В алгебре теоре́ма о рациона́льных корня́х (также тест на рациона́льные ко́рни) определяет рамки для рациональных корней многочлена вида:
<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ...+a_0=0</math>
с целыми коэффициентами <math>a_i</math>и <math>a_0,a_n\neq0</math>.
Теорема утверждает, что каждый рациональный корень <math>x=p/q</math>, где <math>p</math> и <math>q</math> — взаимно простые числа, удовлетворяет условию, что
- <math>p</math> является делителем свободного члена <math>a_0</math>,
- <math>q</math> является делителем старшего коэффициента <math>a_n</math>.
Теорема о рациональных корнях является частным случаем леммы Гаусса.
Применение
Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые существуют. С её помощью определяется конечное количество возможных решений, подлежащих проверке подстановкой. Если рациональный корень <math>x=r</math> найден, исходный многочлен может быть поделён без остатка на <math>(x-r)</math> с получением многочлена меньшей степени, чьи корни также являются корнями исходного многочлена.
Кубическое уравнение
Кубическое уравнение в общем виде:
<math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math>
с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексных числах. Если тест на рациональные корни не выявляет таковых, то единственным способом выражения решений является использование кубических корней. Однако в случае выявления хотя бы одного рационального решения r, вынесение (x-r) за скобки приводит к квадратному уравнению, которое возможно решить через дискриминант.
Доказательство
Пусть:
<math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0, a_0,...a_n\in Z</math>.
Предположим, что <math>P(p/q) = 0</math> для некоторых взаимно простых целых <math>p</math> и <math>q</math>:
<math>P\left(\frac{p}{q}\right)= a_n\left(\frac{p}{q}\right)^{n}+a_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+...+a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0</math>.
Умножая обе части уравнения на <math>q^n</math>, вынося <math>p</math> за скобки и перенося свободный член с противоположным знаком в правую часть уравнения, получаем:
<math>p(a_np^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+...+a_1q^{n-1})=-a_0q^n</math>.
Видно, что <math>p</math> является делителем <math>a_0q^n</math>. Но <math>p</math> и <math>q</math> — взаимно простые числа, значит, <math>p</math> также должно быть делителем <math>a_0</math>.
Если, напротив, перенести старший член в правую часть уравнения и вынести <math>q</math> за скобки, получим:
<math>q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+...+a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}</math>.
Сделаем вывод о делимости <math>a_n</math> на <math>q</math>[1].
Примеры
Пример 1
Каждый рациональный корень многочлена
<math>2x^3+x-1 </math>
должен иметь делитель единицы в числителе и делитель двойки в знаменателе. Таким образом, возможными рациональными корнями являются <math>\pm\frac{1}{2}</math> и <math>\pm1</math>. Однако ни один из них не обращает выражение в ноль, следовательно, многочлен рациональных корней не имеет.
Пример 2
Каждый рациональный корень многочлена
<math>x^3-7x+6</math>
должен иметь делитель шестерки в числителе и делитель единицы в знаменателе, откуда возможными корнями являются <math>\pm1, \pm2, \pm3, \pm6</math>. Из них <math>1</math>, <math>2</math> и <math>-3</math> обращают выражение в ноль, являясь, таким образом, корнями многочлена.
Примечания
Литература
