Русская Википедия:Теорема о сфере (дифференциальная геометрия)
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Шаблон:О Теорема о сфере — общее название теорем, дающих достаточные условия на риманову метрику, гарантирующие гомеоморфность или диффеоморфность многообразия стандартной сфере.
Формулировки
Пусть <math>M</math> является замкнутым, односвязным, n-мерным римановым многообразием с некоторым условием на кривизну (смотри замечания), тогда <math>M</math> гомеоморфно / диффеоморфно n-мерной сфере.
Замечания
- Формулировки с гомеоморфизмом и диффеоморфизмом называются соответственно топологическая теорема о сфере и гладкая теорема о сфере.
- Наиболее известным условием на кривизну является так называемое четверть-защепление кривизны, означающее, что секционная кривизна в каждом секционном направлении каждой точки лежит в <math>(1,4]</math>.
- Условие четверть-защепления является оптимальным, теорема перестаёт быть верной, если секционная кривизна может принимать значения в замкнутом интервале <math>[1,4]</math>. Стандартный контрпример — комплексное проективное пространство с канонической метрикой; секционная кривизна метрики принимает значения между 1 и 4, включая конечные точки. Другие контрпримеры можно найти среди симметрических пространств ранга 1.
- Более общим условием является поточечное четверть-защепление. Это означает, что секционная кривизна положительна и для каждой фиксированной точки отношение максимума к минимуму секционных кривизн по всем секционным направлениям не превосходит 4.
- Другим известным условием на кривизну является положительность оператора кривизны.
- Более общим условием является так называемая 2-положительность оператора кривизны, то есть положительность суммы двух наименьших собственных значений оператора кривизны.
История
Топологическая теорема
- Первая теорема о сфере была доказана Раухом в 1951 году. Он показал, что односвязные многообразия с секционной кривизной в интервале [3/4,1] гомеоморфны сфере.
- В 1960 году Марсель Берже и Вильгельм Клингенберг доказали топологическую версию теоремы о сфере для четверть-защепления.
- В 1988 году Микалеф и Мур доказали топологическую версию для замкнутых многообразий с положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.
- В частности, из этого следует топологическая теорема о сфере для положительного оператора кривизны.
- То, что замкнутые многообразия с положительным оператором кривизны являются рационально-гомологическими сферами, легко следует из формулы Бохнера.
- Их доказательство использует двумерный аналог леммы Синга.
- В частности, из этого следует топологическая теорема о сфере для положительного оператора кривизны.
Гладкая теорема
Классические методы позволяли доказать гладкую теорему о сфере только для очень жёсткого защепления, оптимальных защеплений удалось добиться применением потока Риччи
- В 1982 году Ричард Гамильтон доказал гладкую теорему о сфере в 3-мерном случае с положительной кривизной Риччи.
- Это было первое применение потока Риччи, остальные доказательства гладкой теоремы проходили по той же схеме, но требовали серьёзных технических доработок.
- В 1985 году Шаблон:Iw использовал поток Риччи для доказательства гладкой теоремы о сфере во всех размерностях.
- Предложное им условие на кривизну было в некотором смысле оптимально. В частности, тензор кривизны произведения окружности на сферу <math>\mathbb{S}^1\times \mathbb{S}^{n-1}</math> лежит на границе условия на кривизну.
- В 2008 году Бурхард Вилкинг и Кристоф Бём доказали гладкую теорему о сфере для два-положительности оператора кривизны. В частности, гладкая теорема о сфере верна при условии положительности оператора кривизны.
- В 2009 году Шаблон:Iw и Шаблон:Iw доказана гладкая теорема о сфере с четверть-защеплением. Их доказательство существенно использовало идеи Вилкинга и Бёма.
Литература
- Rauch, H.E., A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38-55
- Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. of Math. 69 (1959), 654—666.
- Berger, M., Les variétés Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161—170.
- Micallef, M., Moore, J. D., Minimal two-spheres and the topology of manifolds with positive curvature on totally isotropic two-planes. Ann. of Math. (2) 127 (1988), 199—227.
- Huisken, G., Ricci deformation on the metric on a Riemannian manifold. J. Differential Geom. 21 (1985), 47-62.
- B. Wilking, C. Böhm: Manifolds with positive curvature operators are space forms. Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 3, 1079—1097.
- Шаблон:Статья
