Русская Википедия:Теорема о точках плотности

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема о точках плотности — результат теории меры, которой интуитивно можно понимать так, что множество «граничных точек» измеримого множества имеет меру ноль.

Формулировка

Обозначим через <math>\lambda</math> меру Лебега на евклидовом пространстве <math>\R^n</math>. Пусть <math>A\subset \R^n</math> — измеримое множество. Для произвольной точки <math>x\in \R^n</math> и <math>\varepsilon>0</math> рассмотрим значение

<math> d_\varepsilon(x)=\frac{\lambda(A\cap B_\varepsilon(x))}{\lambda(B_\varepsilon(x))}</math>,

где <math>B_\varepsilon(x)</math> обозначает шар с центром в <math>x</math> и радиусом <math>\varepsilon</math>. Величина <math> d_\varepsilon(x)</math> может интерпретироваться как приблизительная плотность множества <math>A</math> в точке <math>x</math>.

Тогда

<math> d(x)=\lim_{\varepsilon\to 0} d_{\varepsilon}(x)</math>

существует и равен 1 для почти каждой точки <math>x\in A</math>.

Замечания

• Величина <math> d(x)</math>, если определена, называется плотностью множества <math>A</math> в точке <math>x</math>.
• Другими словами, теорема утверждает, что плотность любого измеримого множества <math>A\subset \R^n</math> принимает значение 0 или 1 почти всюду в <math>\R^n</math>.
• Если множество и его дополнение имеют положительную меру, то всегда найдутся точки с плотностью не 0 и не 1.

Примеры

Например, дан квадрат в плоскости, плотность в каждой точке внутри квадрата равна 1, на сторонах 1/2, в вершинах по 1/4, и 0 вне квадрата; границы и вершины имеют меру ноль.

Вариации и обобщения

• Теорема о точках плотности является частным случаем Шаблон:Iw.

Литература

• Шаблон:Книга