Пусть <math>AB</math> — перпендикуляр к плоскости <math>\alpha</math>, <math>AC</math> — наклонная и <math>c</math> — прямая в плоскости <math>\alpha</math>, проходящая через точку <math>C</math> и перпендикулярная проекции <math>BC</math>. Проведём прямую <math>CK</math> параллельно прямой <math>AB</math>. Прямая <math>CK</math> перпендикулярна плоскости <math>\alpha</math> (так как она параллельна <math>AB</math>), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, <math>CK</math> перпендикулярна прямой <math>c</math>. Проведём через параллельные прямые <math>AB</math> и <math>CK</math> плоскость <math>\beta</math> (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая <math>c</math> перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости <math>\beta</math>, это <math>BC</math> по условию и <math>CK</math> по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой <math>AC</math>.
Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.
Доказательство
Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК , значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.
Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
Решение
Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.
