Русская Википедия:Теорема полноты
Шаблон:Викифицировать Теорема полноты — утверждение о свойствах представлений конечных групп о том, что любую функцию на конечной группе можно разложить по элементам матрицы неприводимых представлений этой группы. Коэффициенты этого разложения называются коэффициентами Фурье по аналогии с теорией тригонометрических рядов. Играет важную роль при применении методов теории групп в физикеШаблон:Sfn.
Формулировка
Любую функцию <math>F(h)</math> на конечной группе <math>G</math> можно разложить по матричным элементам неприводимых представлений:
- <math>F(h)=\sum_{i=1}^{\sigma}\sum_{m,n=1}^{s_{i}}C_{mn}^{(i)}\tau_{mn}^{(i)}(h)</math>,
здесь: <math>\sigma</math> - общее число неэквивалентных неприводимых представлений группы <math>G</math>, <math>s_{i}</math> - число векторов канонического базиса <math>i</math> - го неприводимого представления, <math>\tau_{mn}^{(i)}</math> - элементы матрицы <math>i</math> - го неприводимого представления.
Доказательство
Зададим регулярное представление <math>T</math> на группе <math>G</math> при помощи оператора <math>T(g)</math>, действующего в пространстве <math>\Phi</math> функций на группе и определенного соотношением
- <math>T(g)\phi(h) = \psi(h) \equiv \phi(hg)</math> (1),
где <math>\phi(h)</math> - произвольная функция на группе.
Оператор <math>T(g)</math> задаёт представление <math>T</math> группы <math>G</math> в пространстве <math>\Phi</math>, так как <math>T(e)=E</math> и <math>T(g_{1})T(g_{2})=T(g_{1}g_{2})</math> в силу <math>T(g_{1})T(g_{2})\phi(h) =T(g_{1})\psi(h) = \psi(hg_{1}) = \phi(hg_{1}g_{2}) = T(g_{1}g_{2})\phi(h)</math>.
Пространство <math>\Phi</math> можно представить в виде суммы подпространств:
- <math>\Phi=\sum_{\alpha=1}^{\sigma}\sum_{m=1}^{m_{\alpha}}\Phi_{m}^{(\alpha)}</math>
вследствие того, что, как всякое представление конечной группы, представление <math>T</math> является суммой неприводимых представлений. Здесь <math>\Phi_{m}^{(\alpha)}, m=1, ..., m_{\alpha}</math> - подпространства, преобразующиеся под действием оператора <math>T(g)</math> по неприводимому представлению <math>\tau_{\alpha}</math>, <math>m_{\alpha}</math> - целое число, означающее число вхождений представления <math>\tau_{\alpha}</math> в регулярное представление <math>T</math>.
Воспользуемся тем, что в каждом подпространстве <math>\Phi_{m}^{(\alpha)}</math> существует канонический базис, совокупность функций <math>\phi_{j}^{\alpha m}(h), j=1, 2, ... , s_{\alpha}</math>, преобразующихся под действием операторов <math>T(g)</math> как:
- <math>T(g)\phi_{j}^{\alpha m}(h) = \sum_{l=1}^{s_{\alpha}}\tau_{lj}^{\alpha}(g)\phi_{l}^{\alpha m}(h)</math> (2)
Базис в пространстве <math>\Phi</math> можно получить, объединив базисные функции всех его подпространств и вычислив таким образом коэффициенты <math>C_{j}^{\alpha m}</math>. В результате получим:
- <math>F(h)=\sum_{\alpha=1}^{\sigma}\sum_{m=1}^{m_{\alpha}}\sum_{j=1}^{s_{\alpha}}C_{j}^{\alpha m}\phi_{j}^{(\alpha m)}</math> (3)
Для завершения доказательства определим функции <math>\phi_{j}^{(\alpha m)}</math>. Из формул (1, 2) получаем:
- <math>\phi_{j}^{\alpha m}(hg) = \sum_{l=1}^{s_{\alpha}}\tau_{lj}^{\alpha}(g)\phi_{l}^{(\alpha m)}(h)</math>
Положим в этой формуле <math>h=e</math>. Формула примет вид:
- <math>\phi_{j}^{\alpha m}(g) = \sum_{l=1}^{s_{\alpha}}\tau_{lj}^{\alpha}(g)\phi_{l}^{(\alpha m)}(e)</math>
Таким образом, всякая функция <math>\phi_{j}^{\alpha m}(g)</math> раскладывается в ряд по матричным элементам <math>\tau_{lj}^{\alpha}(g), l=1, 2. ..., s_{\alpha}</math>. Из равенства (3) следует, что и произвольная функция <math>F(h)</math> обладает таким же свойствомШаблон:Sfn.
См. также
Примечания
Литература
