Русская Википедия:Теорема представлений Риса
Теорема представлений Риса (также теорема Риса — Фреше) — утверждение функционального анализа, согласно которому каждый линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен через скалярное произведение с помощью некоторого элемента. Названа в честь венгерского математика Фридьеша Риса.
Формулировка
Пусть существуют гильбертово пространство <math>H</math> и линейный ограниченный функционал <math>f \in H'</math> в пространстве <math>H</math>. Тогда существует единственный элемент <math>y</math> пространства <math>H</math>, такой, что для произвольного <math>x \in H</math> выполняется <math>f(x)=\langle y,x\rangle</math>. Кроме того, выполняется равенство: <math>\|y\|=\|f\|</math>.
Доказательство
<math>\ker(f)</math> ядро линейного функционала является векторным подпространством <math>H</math>.
Существование <math>y</math>
Если <math>f\equiv 0</math>, то достаточно взять <math>y=0</math>. Предположим, что <math>f\ne 0</math>. Тогда <math>\ker(f)\ne H</math>, и, следовательно, ортогональное дополнение <math>\ker(f)^\bot</math> ядра <math>f</math> не равно <math>\{0\}</math>. Выберем произвольный ненулевой вектор <math>b \in \ker(f)^\bot \setminus \big\{0\big\}</math>. Положим <math>y = \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}b</math>. Мы покажем, что <math>f(x) = \langle y, x\rangle</math> для всех <math>x \in H</math>. Рассмотрим вектор <math>p_x=x-\tfrac{f(x)}{f(b)}b</math>. Заметим, что <math>f(p_x) = f(x)-\tfrac{f(x)}{f(b)}f(b) = 0</math>, и, таким образом, <math>p_x \in \ker(f)</math> . Поскольку <math>b \in \ker(f)^\bot</math>, то <math>\langle b,p_x\rangle = 0</math>. Следовательно,
<math>\langle b, p_x \rangle =\Big\langle b, x-{f(x) \over f(b)}b \Big\rangle = \langle b, x\rangle - {f(x) \over f(b)} \| b \|^2 = 0 </math>.
Отсюда <math>f(x) = \langle b, x\rangle \tfrac{f(b)}{\|b\|^2}</math> и <math>f(x) = \langle y, x \rangle </math>.
Единственность <math>y</math>
Предположим, что <math>y</math> и <math>z</math> элементы <math>H</math> удовлетворяют <math>f(x) = \langle y, x \rangle = \langle z, x \rangle</math>.
Это означает, что для всех <math>x \in H</math> справедливо равенство <math>\langle y-z, x \rangle = 0</math>, в частности <math>\langle y-z, y-z \rangle = \|y-z\|^2 = 0</math>, откуда и получается равенство <math>y = z</math>.
Равенство норм
Для доказательства <math>\|y\|=\|f\|</math> сперва из неравенства Коши-Буняковского имеем: <math>|f(x)|=|\langle y,x\rangle| \leq \|y\|\|x\|</math>. Отсюда, согласно определению нормы функционала, имеем: <math>\|f\|\leq\|y\|.</math> Кроме того, <math>\langle y, y \rangle = f(y) \leq \|y\|\|f\|</math>, откуда <math>\|y\|\leq\|f\|</math>. Объединяя два неравенства, получаем <math>\|y\|=\|f\|</math>.
См. также
Примечания
