Русская Википедия:Теорема синусов
Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов: Шаблон:Рамка Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
- <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>
Шаблон:Конец рамки и расширенная теорема синусов: Шаблон:Рамка Для произвольного треугольника
- <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R,</math>
где <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> — стороны треугольника, <math>\alpha, \beta, \gamma</math> — соответственно противолежащие им углы, а <math>R</math> — радиус окружности, описанной около треугольника. Шаблон:Конец рамки
Доказательства
Доказательство обычной теоремы синусов
Воспользуемся только определением высоты <math> h_b </math> треугольника, опущенной на сторону Шаблон:Math, и синуса для двух углов:
- <math> h_b=a \sin \gamma= c \sin \alpha </math>. Следовательно, <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎
Доказательство расширенной теоремы синусов
Вариации и обобщения
В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
- <math>V_n=\frac{n-1}{n}\cdot\frac{{V_{n-1}^i}{V_{n-1}^j}}{V_{n-2}^{i,j}}\cdot \sin {A_{i,j}},</math>
где <math> A_{i,j} </math> — угол между гранями <math> V_{n-1}^i </math> и <math> V_{n-1}^j </math>; <math>V_{n-2}^{i,j}</math> — общая грань <math> V_{n-1}^i </math> и <math> V_{n-1}^j </math>; <math>V_n</math> — объём симплекса.
История
- В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется[1].
- Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[2].
- Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[4].
Вариации и обобщения
- Сферическая теорема синусов
- На плоскости Лобачевского с кривизной <math>-1</math> теорема синусов принимает следующую форму:
- <math>\frac{\sin A}{\mathrm{sh}\,a} = \frac{\sin B}{\mathrm{sh}\,b} = \frac{\sin C}{\mathrm{sh}\,c}.</math>
- Теорема косинусов
- Теорема котангенсов
- Теорема о проекциях
- Теорема Пифагора
- Теорема тангенсов
- Тригонометрические тождества
- Тригонометрические функции
- Формулы Мольвейде
Примечания
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Шаблон:Книга
- ↑ Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Шаблон:Citation
- ↑ Шаблон:Cite web
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Треугольник Шаблон:Тригонометрия
