Русская Википедия:Теорема сравнения Рауха

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема сравнения Рауха — фундаментальный результат римановой геометрии. Доказана Раухом.

Теорема утверждает, что в пространствах с большей секционной кривизной геодезические имеют тенденцию сходиться быстрее. Точная формулировка использует поля Якоби.

Формулировка

Пусть <math>M</math> и <math>\tilde{M}</math> суть римановы многообразия. Пусть <math>\gamma\colon [0, T] \to M</math> и <math>\tilde{\gamma}\colon [0,T] \to \tilde{M}</math> суть геодезические с единичной скоростью, такие, что <math>\widetilde{\gamma}(0)</math> не имеет сопряженных точек вдоль <math>\tilde{\gamma}</math>, и пусть <math>J, \tilde{J}</math> — нормальные поля Якоби вдоль <math>\gamma</math> и <math>\tilde{\gamma}</math>, такие, что <math>J(0) = \tilde{J}(0) = 0</math> и <math>|J'(0)| = |\tilde{J}'(0)|</math>. Предположим, что секционные кривизны <math>M</math> и <math>\tilde{M}</math> всюду удовлетворяют <math>K(\Pi) \leqslant \widetilde{K}(\widetilde{\Pi})</math>, где <math>\Pi \subset T_{\gamma(t)} M</math> — это 2-плоскость, содержащая <math>\dot{\gamma}(t)</math>, а <math>\tilde{\Pi} \subset T_{\tilde{\gamma}(t)} \tilde{M}</math> — 2-плоскость, содержащая <math>\dot{\tilde{\gamma}}(t)</math>. Тогда <math>|J(t)| \geqslant |\tilde{J}(t)|</math> для всех <math>t \in [0, T]</math>.

Следствия

Пусть <math>M</math> — риманово многообразие, и геодезическая <math>\gamma\colon [0, T] \to M</math> не имеет сопряжённых точек, тогда:

• Если <math>M</math> имеет неотрицательную секционную кривизну, то для любого поля Якоби <math>J</math> такого, что <math>J(0) = 0</math>, имеем

  <math>|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |t|.</math>

• Если секционная кривизна <math>M</math> не меньше 1, то

  <math>|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\sin t|.</math>

• Если секционная кривизна <math>M</math> не больше −1, то

  <math>|J(t)|\leqslant |J'(0)|\cdot |\operatorname{sh} t|.</math>

См. также

• Теорема сравнения Топоногова
• Теорема сравнения Штурма

Ссылки

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
• Шаблон:Книга