Русская Википедия:Теорема сравнения Топоногова
Теорема сравнения Топоногова — классическая теорема римановой геометрии в целом.
В двумерном случае теорема была доказана Паоло Пиццетти[1]. Однако его работа оставалась незамеченной целый век.[2] Теорема была независимо передоказана Александром Даниловичем Александровым[3] и обобщена Виктором Андреевичем Топоноговым[4] на старшие размерности. Она послужила отправной точкой в развитии Александровской геометрии ограниченной снизу кривизны.
Необходимые определения
Для формулировки теоремы нам потребуется пара определений. Пусть <math>M</math> — полное риманово многообразие размерности хотя бы 2 и с секционной кривизной не меньше некоторой константы <math>\kappa</math>.
Обозначим через <math>\mathbb{M}_\kappa</math> модельную плоскость кривизны <math>\kappa</math>. При <math>\kappa=0</math> это евклидова плоскость, при <math>\kappa>0</math>, <math>\mathbb{M}_\kappa</math> изометрично поверхности сферы радиуса <math>\tfrac1{\sqrt{\kappa}}</math> и при <math>\kappa<0</math>, <math>\mathbb{M}_\kappa</math> есть плоскость Лобачевского кривизны <math>\kappa</math>.
Треугольником в <math>M</math> называется тройка кратчайших соединяющие попарно три точки. При этом каждая из трёх точек называется вершиной треугольнка, а величина угла между парой исходящих из вершины кратчайших называется углом при этой вершине.
Пусть <math>\triangle</math> есть треугольник в <math>M</math>. Предположим в <math>\mathbb{M}_\kappa</math> существует треугольник <math>\tilde\triangle_\kappa</math>, с равными соответствующими сторонами и при этом такой треугольник <math>\tilde\triangle_\kappa</math> является единственным с точностью до конгруэнтности. В этом случае треугольник <math>\tilde\triangle_\kappa</math> называется модельным треугольником треугольника <math>\triangle</math> в <math>M</math>.
Заметим, что модельный треугольник <math>\tilde\triangle_\kappa</math> всегда определён в случае если <math>\kappa\le 0</math>. В случае если <math>\kappa>0</math>, это верно если периметр <math>\triangle</math> строго меньше <math>2\cdot\pi/\sqrt{\kappa}</math>.
Пусть <math>\triangle \tilde x\tilde y\tilde z</math> в <math>\mathbb{M}_\kappa</math> есть модельный треугольник <math>\triangle xyz</math> в <math>M</math>. Определим модельный угол <math>\tilde\measuredangle_\kappa xyz</math> как угловую меру <math>\measuredangle \tilde x\tilde y\tilde z</math>.
Формулировка
Теорема. Пусть <math>M</math> — полное риманово многообразие и с секционной кривизной не меньше некоторой константы <math>\kappa</math>. Тогда углы любого треугольника <math>\triangle</math> в M не меньше соответствующих углов его модельного треугольника <math>\tilde\triangle_\kappa</math>. Иначе говоря
- <math>\tilde\measuredangle_\kappa xyz\le \measuredangle xyz</math>
для любого треугольника <math>\triangle xyz</math>.
Следствия
- Предположим <math>M</math> — полное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной. Тогда для любой точки <math>p\in M</math>, функция <math>f(x)=|p-x|_M^2</math> является 2-вогнутой; то есть, для любой нормальной геодезической <math>\gamma</math> функция <math>t\mapsto f\circ\gamma(t)-t^2</math> является вогнутой.
Вариации и обобщения
- Обратная теорема также верна, то есть если сравнение углов верно для любого треугольника в римановом многообразии <math>M</math> то <math>M</math> имеет кривизну хотя бы <math>\kappa</math>.
- Для каждой точки x на стороне треугольника <math>\triangle</math>, обозначим через <math>\tilde x</math> соответственную точку на стороне <math>\tilde\triangle\kappa</math>. Тогда утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
- <math>|\tilde x-\tilde y|_{\mathbb M_\kappa}\le |x-y|_M</math>
- где <math>|x-y|_M</math> обозначает расстояние между точками <math>x</math> и <math>y</math> в римановом многообразии <math>M</math>.
- Утверждение теоремы эквивалентно выполнению следующего неравенства
- <math>\tilde\measuredangle_\kappa xpy+\tilde\measuredangle_\kappa ypz+\tilde\measuredangle_\kappa zpx\le 2\cdot\pi</math>
- для произвольной четвёрки точек <math>p,x,y,z\in M</math>
См. также
Литература
- Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, Мир, 1971, с. 343.
- Шаблон:Книга
Ссылки
- ↑ Pizzetti, P., Paragone fra due triangoli a lati uguali. Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti (5). Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali 16 (1), 1907, 6–11.
- ↑ Pambuccian, Victor; Zamfirescu, Tudor, Paolo Pizzetti: the forgotten originator of triangle comparison geometry. Historia Math. 38 (2011), no. 3, 415–422.
- ↑ А. Д . Александров, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.—Л.,Гостехиздат, 1948.
- ↑ В. А. Топоногов, Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу УМН, 14:1(85) (1959), 87–130
