Русская Википедия:Теорема тангенсов
Теорема тангенсов[1] — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.
Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или, наоборот, два угла и одна сторона.
История
Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201—1274), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.[2][3]
Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (Шаблон:Lang-la), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.[4]
Формулировка
На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что
- <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\mathrm{tg}\frac{\alpha-\beta}{2}}{\mathrm{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}}.</math>
Доказательство
Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:
- <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.</math>
Пусть
- <math>d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},</math>
откуда
- <math>a = d \sin \alpha</math>
- <math>b = d \sin \beta.</math>
Отсюда следует, что
- <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{d \sin \alpha - d\sin\beta}{d\sin\alpha + d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}.</math>
Используя известное тригонометрическое тождество
- <math> \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2} , \;</math>
получаем:
- <math>\frac{a-b}{a+b} = \frac{\sin \alpha - \sin\beta}{\sin\alpha + \sin\beta}= \frac{2\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} \cos \frac{\alpha+ \beta}{2}}{2\sin \frac {\alpha+ \beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}} = \frac{\mathrm{tg} \frac{\alpha-\beta}{2}}{\mathrm{tg}\frac{\alpha+\beta}{2}}. \qquad\blacksquare</math>
Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество
- <math> \mathrm{tg} \frac{\alpha \pm \beta}{2} = \frac{\sin\alpha \pm \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} </math>.
Другое доказательство с использованием формул Мольвейде
- Формулы Мольвейде имеют следующий вид:
- <math>\frac{a+b}{c}=\frac{\operatorname{cos}\frac{A-B}{2}}{\operatorname{sin}\frac{C}{2}};</math>
- <math>\frac{a-b}{c}=\frac{\operatorname{sin}\frac{A-B}{2}}{\operatorname{cos}\frac{C}{2}}.</math>
где <math>A, \;B,\; C</math> — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и <math>a, \; b, \; c</math> — длины сторон соответственно между вершинами <math>B</math> и <math>C</math>, <math>C</math> и <math>A</math>, <math>A</math> и <math>B</math>.
- Деля порознь правые и левые части двух последних равенств и приравнивая два полученных результата друг другу, имеем
- <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{ctg}\frac{C}{2}}{\mathrm{tg}\frac{A-B}{2}}.</math>
- С учетом того, что <math>\mathrm{ctg}\frac{C}{2}= \mathrm{ctg} \frac{\pi -A-B}{2}=\mathrm {tg} \frac{A+B}{2} </math>, окончательно имеем:
- <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{\mathrm{tg}\frac{A+B}{2}}{\mathrm{tg}\frac{A-B}{2}},</math>
что и требовалось доказать.
См. также
- Решение треугольников
- Теорема косинусов
- Теорема котангенсов
- Теорема о проекциях
- Теорема Пифагора
- Теорема синусов
- Тригонометрические тождества
- Тригонометрические функции
- Формула половины стороны
- Формулы Мольвейде
Примечания
- ↑ Eli Maor. Trigonometric Delights // Princeton University Press, 2002.
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ О. В. Мантуров. Толковый словарь математических терминов
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Тригонометрия
