Русская Википедия:Теорема унитарности

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теорема унитарности — утверждение о свойствах представлений конечных групп. Играет важную роль при применении методов теории групп в физикеШаблон:Sfn.

Формулировка

Для всякого представления <math>T</math> конечной группы <math>G</math>, определённого в конечномерном пространстве <math>L</math>, можно определить скалярное произведение для любых векторов <math>x, y \in L</math> в этом пространстве <math>(x, y)</math> таким образом, чтобы все операторы <math>T(g), g \in G</math> были унитарными, то есть чтобы для всех <math>x, y \in L, g \in G</math> выполнялось равенство: <math>(T(g)x, T(g)y)=(x, y)</math>.

Доказательство

Определим в пространстве <math>L</math> новое скалярное произведение: <math>(x, y)_{0}=\frac{1}{N}\sum_{h \in G}(T(h)x, T(h)y)</math>. Здесь <math>N</math> - число элементов конечной группы <math>G</math>. Покажем, что все операторы <math>T(g), g \in G</math> унитарны относительно этого скалярного произведения: <math>(T(g)x, T(g)y)_{0}=(x, y)_{0}</math>. Имеем: <math>(T(g)x, T(g)y)_{0} = \frac{1}{N}\sum_{h \in G}(T(h)T(g)x, T(h)T(g)y) = \frac{1}{N}\sum_{h \in G}(T(hg)x, T(hg)y)</math>. Когда элемент <math>h</math> по одному разу пробегает все элементы группы <math>G</math>, то произведение <math>hg</math> при фиксированном <math>g</math> тоже пробегает по одному разу все элементы этой группы. Поэтому суммы <math>\frac{1}{N}\sum_{h \in G}(T(h)x, T(h)y)</math> и <math>\frac{1}{N}\sum_{h \in G}(T(hg)x, T(hg)y)</math> отличаются только порядком слагаемых, и, таким образом, равны друг другу. Тождество <math>(T(g)x, T(g)y)_{0}=(x, y)_{0}</math> доказано, следовательно, доказана теорема унитарностиШаблон:Sfn.

Следствия

• Если <math>L_{1}</math> - инвариантное относительно представления <math>T</math> подпростанство, то ортогональное к нему подпространство <math>L_{2} \subset L </math> тоже инвариантно относительно представления <math>T</math>Шаблон:Sfn.
• Если <math>\tau</math> - неприводимое представление конечной группы, то пространство <math>L</math> не содержит ни одного нетривиального подпространства, инвариантного относительно представления <math>\tau</math>Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга