Русская Википедия:Теоремы Кельвина
Под теоре́мой Ке́львина в гидродинамике обычно подразумевают основную теорему Кельвина, однако также известны ещё две другие теоремы Томсона (Кельвина).
Теорема Кельвина о безвихревом движении
В 1849 году Уильям Томсон доказал теорему о минимальной кинетической энергии жидкости:
Шаблон:Рамка если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии вихревого движения. Шаблон:Конец рамки
Доказательство первой теоремы Кельвина
Теорему Кельвина можно доказать, основываясь на том, что скорость в безвихревом движении потенциальна (v = gradφ) и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю, как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, пусть ΔЧто-то = Что-товихр. − Что-тобезвихр.. Тогда для разности кинетических энергий можно записать:
- <math>
\Delta\!T=\frac{\rho}{2}\iiint\limits_\tau [(\mathbf{V}+\mathbf{\Delta\!V})^2-V^2]d\tau = \rho\iiint\limits_\tau \mathbf{V\,\Delta\!V}d\tau +\frac{\rho}{2}\iiint\limits_\tau |\mathbf{\Delta\!V}|^2d\tau, </math>
где ρ — плотность жидкости, а τ — жидкий объём. Рассмотрим далее только первый интеграл справа:
- <math>
\iiint\limits_\tau \mathbf{V\,\Delta\!V}d\tau=\iiint\limits_\tau \operatorname{grad}\varphi\cdot\mathbf{\Delta\!V}d\tau, </math>
а, так как div(φa) = φ diva + gradφ·a, интеграл можно преобразовать так:
- <math>
\iiint\limits_\tau \mathbf{V\,\Delta\!V}d\tau=\iiint\limits_\tau \operatorname{grad}\varphi\cdot\mathbf{\Delta\!V}d\tau = \iiint\limits_\tau\operatorname{div}(\varphi\mathbf{\Delta\!V})d\tau - \iiint\limits_\tau\varphi\operatorname{div}(\mathbf{\Delta\!V})d\tau = \iint\limits_\sigma\varphi(\mathbf{\Delta\!V})_nd\sigma - \iiint\limits_\tau\varphi\Delta\!(\operatorname{div}\mathbf{V})d\tau, </math>
где σ — поверхность, ограничивающая объём τ, а индекс n обозначает нормальную составляющую вектора. Из условия теоремы следует, что на поверхности σ вихревое и безвихревое движения совпадают, т. е. ΔV = 0, кроме того по условию несжимаемости div V = 0. Таким образом, в последнем равенстве все слагаемые равны нулю и для разности кинетических энергий получается:
- <math>
\Delta\!T=\frac{\rho}{2}\iiint\limits_\tau|\mathbf{\Delta\!V}|^2d\tau >0, </math>
из чего и следует теорема Кельвина.
Кинематическая теорема Кельвина
Кинематическая теорема Кельвина позволяет с чисто кинематической стороны предсказать поведение вихревой трубки во времени. Формулировка теоремы такова:
Шаблон:Рамка частная производная по времени от циркуляции скорости по замкнутому Шаблон:Comment контуру равна циркуляции ускорения по этому же контуру. Шаблон:Конец рамки
Доказательство второй теоремы Кельвина
Вычислим частную производную по времени от циркуляции скорости по произвольному контуру C, не делая для начала предположения о его замкнутости.
- <math>\begin{align}
\frac{d}{dt}\int\limits_C \mathbf{V\delta r}=\int\limits_C\frac{d}{dt}(\mathbf{V\cdot\delta r}) = \int\limits_C\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot\mathbf{\delta r} +\int\limits_C\mathbf{V\cdot\frac{d}{dt}(\delta r)} = \\ =\int\limits_C\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot\mathbf{\delta r} +\int\limits_C\mathbf{V}\cdot\delta\left ( \frac{d\mathbf{r}}{dt}\right ) = \int\limits_C\frac{d\mathbf{V}}{dt}\cdot\mathbf{\delta r} +\int\limits_C\delta\left ( \frac{V^2}{2}\right ). \end{align}</math>
Очевидно, при замыкании контура последний интеграл обратится в нуль. Таким образом:
- <math>\frac{d}{dt}\Gamma_C(\mathbf{V})=\frac{d}{dt}\oint\limits_C\mathbf{V}\cdot\mathbf{\delta r} = \oint\limits_C\mathbf{\dot{V}}\cdot\mathbf{\delta r} = \Gamma_C(\mathbf{\dot{V}}).
</math>
Теорема Кельвина о баротропной жидкости
Теорему Кельвина о баротропной жидкости также называют основной теоремой Кельвина, которая обосновывает возможность существования безвихревого движения:
Шаблон:Рамка при движении Шаблон:Comment идеальной жидкости под действием потенциальных сил циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру не изменяется. Шаблон:Конец рамки
Доказательство третьей теоремы Кельвина
Теорема легко доказывается на основе предыдущей теоремы подстановкой в правую часть выражения для ускорения в случае потенциальных сил: <math>\mathbf{\dot{V}}=-\operatorname{grad}\Pi</math>:
- <math>
\frac{d}{dt}\Gamma_C(\mathbf{V})=\frac{d}{dt}\oint\limits_C\mathbf{V}\cdot\mathbf{\delta r} = \oint\limits_C\mathbf{\dot{V}}\cdot\mathbf{\delta r} = -\oint\limits_C\operatorname{grad}\Pi\cdot\delta\mathbf{r}=-\oint\limits_C\delta\Pi = 0, </math>
следовательно, <math>\Gamma</math> — постоянная величина.
Теорема была сформулирована и доказана У. Томсоном в 1869 году. Дифференциальной формой Теоремы Кельвина является уравнение вихря.
Литература
