Русская Википедия:Теория Морса
Тео́рия Мо́рса — математическая теория, разработанная в 1920-е — 1930-е годы Марстоном Морсом, связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках.
Одно из исторически первых применений методов дифференциальной топологии в анализе. Морс называл теорию «вариационным исчислением в целом» (Шаблон:Lang-en), при этом начиная 1960-х годов с обобщением результатов на бесконечномерные многообразия теория Морса стала считаться подразделом глобального анализа — анализа на многообразиях[1]. В свою очередь, в работах Рауля Ботта второй половины 1950-х годов методы теории Морса применены к чисто топологическим задачам, и полученные результаты (прежде всего, Шаблон:Iw) во многом послужили фундаментом для самостоятельного раздела математики — K-теории.
Выделяются три основных последовательно развившихся направления теории Морса: классическая теория критических точек на гладком многообразииШаблон:Переход, теория Морса для геодезических на римановом многообразии, явившаяся применением построений классической теории, и теория Морса на Шаблон:Iw, естественно продолжающая теорию геодезических и являющаяся непосредственным обобщением классической теории[2].
Теория критических точек на гладком многообразии
Ключевой результат теории критических точек на гладком многообразии — лемма Морса, описывающая поведение вещественной функции на многообразии <math>f: M \to \R</math> в невырожденной критической точке <math>b \in M</math>: согласно лемме, существует карта <math>(x_1, x_2, \dots, x_n)</math> для окрестности <math>U \ni b</math>, такая что <math>x_i(b) = 0</math> для всех <math>i</math> и на всей <math>U</math> имеет место:
- <math>f(x) = f(b) - x_1^2 - \cdots - x_{\alpha}^2 + x_{\alpha +1}^2 + \cdots + x_n^2 </math>.
(Здесь <math>\alpha</math> — индекс <math>f</math> в точке <math>b</math>.) Обобщение леммы на гильбертовы пространства — Шаблон:Iw.
Другой важный результат связан с применением перестройки Морса: если множество <math>f^{-1}([a,b])</math> компактно, не пересекается с краем многообразия <math>M</math> и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса <math>k</math>, то <math>f^{-1}(b)</math> диффеоморфно многообразию, полученному из <math>f^{-1}(a)</math> приклеиванием ручки индекса <math>k</math>.
Каждой функции Морса <math>f</math> на гладком многообразии <math>M</math> без края (такой, что все множества <math>f^{-1}(a)</math> компактны) отвечает гомотопически эквивалентный многообразию <math>M</math> CW-комплекс, клетки которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с критическими точками функции <math>f</math>, причём размерность клетки равна индексу Морса соответствующей критической точки. Важные следствия этого результата — неравенства Морса. Также данный результат предоставляет мощный инструмент для изучения топологии многообразий, причём важны не только индексы, но и количество критических точек. Например, если на замкнутом многообразии задана функция Морса <math>f:M\to R</math>, имеющая в точности <math>m</math> критических точек (индексы которых неизвестны), то:
- случай <math>m=1</math> невозможен согласно неравенствам Морса;
- в случае <math>m=2</math>: теорема Риба о сфере утверждает, что <math>M</math> гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере <math>S^n</math>;
- случай <math>m=3</math> возможен только в некоторых малых размерностях, при этом <math>M</math> гомеоморфно многообразию Илса — Кёйпера.
Вариации и обобщения
- Теория Морса — Ботта — вариант теории Морса с неизолированными критическими точками. Эта теория находит применение при изучении многообразий с симметриями.
Примечания
Литература
