Русская Википедия:Теория Томаса — Ферми
Теория Томаса — Ферми (модель Томаса — Ферми) является квантовомеханической теорией электронной структуры системы многих тел, разработана с использованием квазиклассического приближения вскоре после открытия уравнения Шрёдингера Энрико Ферми и Люэлином Томасом[1][2]. Она основывается не на волновой функции, а формулируется в терминах электронной плотности и рассматривается как предшественник современной теории функционала плотности. Модель Томаса — Ферми правильна только в пределе бесконечного ядерного заряда. Используя это приближение для реальных систем теория даёт плохие количественные предсказания и даже не в состоянии воспроизвести некоторые общие черты, такие как плотность оболочечной структуры атомов и осцилляции Фриделя в твёрдых телах. Она, однако, нашла приложения во многих областях благодаря возможности получать правильное качественное поведение аналитически и лёгкости, с которой она может быть решена. Выражение кинетической энергии в теории Томаса — Ферми также используется в качестве компонента более сложного приближения для плотности кинетической энергии в современных теориях функционала плотности, где можно обойтись без орбиталей.
Кинетическая энергия
Для малого элемента объёма ΔV, и для атома в основном состоянии, мы можем заполнить в сферическом пространстве импульсов объём Vf до импульса Ферми pf , и, таким образом,[3]
- <math>V_f = \frac{4}{3}\pi p_{f}^3(\vec{r}),</math>
где <math>\vec{r} </math> точка в ΔV.
Соответствующее фазовое пространство имеет объём
- <math>\Delta V_{ph} = V_f \ \Delta V = \frac{4}{3}\pi p_{f}^3(\vec{r}) \ \Delta V .</math>
Электроны в ΔVph распределены равномерно с двумя электронами в h3 этого объёма фазового пространства, где h постоянная Планка.[4] Тогда число электронов в ΔVph составит
- <math>\Delta N_{ph} = \frac{2}{h^3} \ \Delta V_{ph} = \frac{8\pi}{3h^3}p_{f}^3(\vec{r}) \ \Delta V .</math>
Число электронов в ΔV :
- <math>\Delta N = n(\vec{r}) \ \Delta V, </math>
где <math>n(\vec{r}) </math> плотность электронов.
Приравнивая число электронов в ΔV и в ΔVph , получаем
- <math>n(\vec{r})=\frac{8\pi}{3h^3}p_{f}^3(\vec{r}) .</math>
Доля электронов в <math>\vec{r}</math>, чей импульс лежит между импульсами p и p+dp, составит
- <math>\begin{align}
F_\vec{r} (p) dp & = \frac{4 \pi p^2 dp} {\frac{4}{3} \pi p_f^3(\vec{r})} \qquad \qquad p \le p_f(\vec{r}) \\
& = 0 \qquad \qquad \qquad \quad \text{otherwise} \\
\end{align} </math>
Используя классическое выражение для кинетической энергии электрона с массой me, кинетической энергии в единице объёма в <math>\vec{r}</math> для электронов атома
- <math>\begin{align}
t(\vec{r}) & = \int \frac{p^2}{2m_e} \ n(\vec{r}) \ F_\vec{r} (p) \ dp \\
& = n(\vec{r}) \int_{0}^{p_f(\vec{r})} \frac{p^2}{2m_e} \ \ \frac{4 \pi p^2 } {\frac{4}{3} \pi p_f^3(\vec{r})} \ dp \\
& = C_F \ [n(\vec{r})]^{5/3},
\end{align} </math>
где использовалось предыдущее выражение, связывающее <math>n(\vec{r})</math> и <math>p_f(\vec{r})</math> и
- <math>C_F=\frac{3h^2}{10m_e}\left(\frac{3}{8\pi}\right)^{\frac{2}{3}}.</math>
Интегрирование кинетической энергии в единице объёма <math>t(\vec{r})</math> во всём пространстве приводит к полной кинетической энергии электронов:[5]
- <math>T=C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ .</math>
Этот результат показывает, что полная кинетическая энергия электронов может быть выражена в терминах только пространственно зависимой плотности электронов <math>n(\vec{r}) ,</math> согласно модели Томаса-Ферми. Поэтому они смогли рассчитать энергию атома с помощью этого выражения для кинетической энергии в сочетании с классическими выражениями для ядерно-электронных и электрон-электронных взаимодействий (которые могут быть представлены в виде электронной плотности).
Потенциальная энергия
Потенциальная энергия электронов атома за счёт электрического притяжения положительно заряженного ядра:
- <math>U_{eN} = \int n(\vec{r}) \ V_N(\vec{r}) \ d^3r,</math>
где <math>V_N(\vec{r})</math> есть потенциальная энергия электрона в точке <math>\vec{r}</math>, находящегося в электрическом поле ядра. В случае, когда ядро находится в точке <math>\vec{r}=0</math> (заряд ядра равен Ze, где Z представляет собой натуральное число, e – элементарный заряд):
- <math>V_N(\vec{r}) = \frac{-Ze^2}{r} . </math>
Потенциальная энергия электронов за счёт их взаимного электрического отталкивания равна
- <math>U_{ee} = \frac{1}{2} \ e^2 \int \frac{n(\vec{r}) \ n(\vec{r} \, ')} {\left\vert \vec{r} - \vec{r} \, ' \right\vert } \ d^3r \ d^3r' .</math>
Полная энергия
Полная энергия электронов равна сумме их кинетической и потенциальной энергий:[6]
- <math> \begin{align}
E & = T \ + \ U_{eN} \ + \ U_{ee} \\
& = C_F\int [n(\vec{r})]^{5/3}\ d^3r \ + \int n(\vec{r}) \ V_N(\vec{r}) \ d^3r \ + \ \frac{1}{2} \ e^2 \int \frac{n(\vec{r}) \ n(\vec{r} \, ')} {\left\vert \vec{r} - \vec{r} \, ' \right\vert } \ d^3r \ d^3r'. \\
\end{align} </math>
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ Шаблон:Статья
- ↑ March 1992, p.24
- ↑ Parr and Yang 1989, p.47
- ↑ March 1983, p. 5, Eq. 11
- ↑ March 1983, p. 6, Eq. 15
