Русская Википедия:Теория Янга — Миллса

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Проблемы тысячелетия Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чжэньином Янгом и Робертом Миллсом, и первое время рассматривались лишь как математические поиски, не имеющие отношения к реальности. Однако в 1960—1970-х годах на основе теорий Янга — Миллса были созданы две краеугольные теории стандартной модели в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе групп SU(2)×U(1).

Характерные свойства

Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции.

Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.

Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удаётся решить приближённо в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика

Теории Янга — Миллса — частный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

<math>\ \mathcal{L}_\mathrm{gf} = -\frac{1}{4}\operatorname{Tr} \left(F^2 \right)=- \frac{1}{4}F^{\mu \nu a} F_{\mu \nu}^a, </math>

где <math>F</math> — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал <math>A^a_\mu</math> калибровочной группы:

<math>\ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c, </math>

где под <math>\partial_\mu</math> понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие алгебры Ли калибровочной группы <math>T^a</math> удовлетворяют соотношению

<math>\ [T^a,T^b]=if^{abc}T^c </math>,

где <math>f^{abc} </math> называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как:

<math>\ D_\mu=I\partial_\mu-igT^aA^a_\mu </math>,

где <math>I</math> — единичный оператор, а <math>g</math> — это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия <math>g</math> — это безразмерная величина. Для групп <math>SU(N)</math> <math>a,b,c=1\ldots N^2-1</math>.

Вышеприведённое определение <math>F_{\mu \nu}^a </math> может быть получено исходя из коммутатора:

<math>\ [D_\mu, D_\nu] = -igT^aF_{\mu\nu}^a</math>.

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения:

<math>\partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=0</math>

называются полулинейными. В случае малой константы связи <math>g<1</math> в данной теории применима теория возмущений.

Переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, <math>f^{abc}=f_{abc}</math>, в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае — обычной метрикой Минковского <math>\eta_{\mu \nu }={\rm diag}\,(+---)</math>.

С введением <math>F_{\mu\nu}=T^aF^a_{\mu\nu}</math> уравнения движения можно переписать так:

<math>(D^\mu F_{\mu\nu})^a=0.</math>

Так как <math>F</math> — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки:

<math>\ (D_\mu F_{\nu \kappa})^a+(D_\kappa F_{\mu \nu})^a+(D_\nu F_{\kappa \mu})^a=0</math>.

Источник <math>J_\mu^a</math> входит в уравнения движения как:

<math>\partial^\mu F_{\mu\nu}^a+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu\nu}^c=-J_\nu^a</math>.

(Токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.)

В <math>D</math> измерениях пространства-времени поле масштабируется как <math>[A]=\left[L^\frac{2-D}{2} \right]</math> и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность <math>\left[g^2 \right]=\Big[L^{D-4}\Big]</math>. Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, для <math>D=4</math> константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием <math>\phi^4</math>. Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

Литература

• Янг, Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. Д. Иваненко. — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
• Славнов, А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.

Ссылки

• Физическую «проблему тысячелетия» посчитали неразрешимой

Внешние ссылки