Русская Википедия:Теория амёб

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Теория амёб — раздел комплексного анализа, изучающий геометрию алгебраических множеств. Находит широкое применение в алгебраической и тропической геометрии.

Определения

Пусть <math>V</math> — множество нулей полинома Лорана

<math>p(z)=\sum_{\alpha \in A}c_\alpha z_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot z_n^{\alpha_n}, A\subset \mathbb{Z}^n, n\geqslant 1</math>.

Амёбой <math>\mathcal{A}_V</math> алгебраического множества <math>V</math> называется его образ при логарифмическом проектировании

<math>\mathrm{Log}: (\mathbb{C}\setminus\{0\})^n\to \mathbb{R}^n</math>,

определяемом формулой <math>\mathrm{Log} (z) = (\log|z_1|,\ldots,\log|z_n|)</math>.

Коамёбой <math>\mathcal{A}_V^*</math> алгебраического множества <math>V</math> называется его образ при отображении

<math>\mathrm{Arg}: (\mathbb{C}\setminus\{0\})^n\to S^1\times\ldots\times S^1</math>,

определяемом формулой <math>\mathrm{Arg} (z) = (\arg z_1,\ldots,\arg z_n)</math>.

Свойства

Амёба и коамёба двойственные объекты — являются проекциями <math>2\pi i</math>-периодического множества <math>\mathrm{Ln} V = \{\zeta:p(e^{\zeta_1},\ldots,e^{\zeta_n})=0\}</math> на вещественное и мнимое подпространство. Теория амёб позволяет наглядно изучать геометрию гиперповерхностей и кривых, расположенных в 4-х и 6-и мерном пространстве (<math>\mathbb{C}^2</math>, <math>\mathbb{C}^3</math>), что явилось причиной бурного развития теории в начале XXI века.

Компоненты дополнения <math>\mathbb{R}^n\setminus \mathcal{A}_V</math> всегда выпуклы.

Ссылки

• Амёбы комплексных аналитических множеств