Русская Википедия:Теория гомологий
Теория гомоло́гий (Шаблон:Lang-grc «равный, одинаковый; общий; взаимный» и Шаблон:Lang-grc2 «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.
В простейшем случае топологическому пространству <math>X</math> сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий <math>H_k(X)</math>, занумерованных натуральными числами <math>k</math>. Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информацииШаблон:Sfn.
Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинериюШаблон:Sfn, и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.
Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии <math>H_k(X, A)</math> с коэффициентами в абелевой группе <math>A</math>, относительные гомологии <math>H_k(X, Y)</math> пары пространств <math>X \supset Y</math> и когомологии <math>H^k(X)</math>, определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения <math>H^k(X) \otimes H^l(X) \to H^{k+l}(X)</math>, превращающего их в градуированную алгебру.
Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.
Общее определение
Напомним, что <math>k</math>-тая гомотопическая группа <math>\pi_k(X)</math> пространства <math>X</math> — это множество отображений из <math>k</math>-мерной сферы в <math>X</math>, рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий <math>H_k(X)</math> отображения сфер заменяют на <math>k</math>-циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности <math>k</math> внутри <math>X</math>, но в разных определениях формализуют по-разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.
В стандартных обозначениях группа <math>k</math>-циклов — <math>Z_k(X)</math> (от Шаблон:Lang-de — «цикл»), группа <math>k</math>-границ — <math>B_k(X)</math> (от Шаблон:Lang-en — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как
- <math>H_k(X) = Z_k(X) / B_k(X)</math>.
Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности <math>k > 2</math> приводит к некоторым трудностямШаблон:Sfn. Решением является определение промежуточного понятия группы <math>k</math>-цепей <math>C_k(X)</math>, состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в <math>X</math> неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы <math>\partial_k: C_k(X) \to C_{k-1}(X)</math>. Тогда <math>k</math>-циклы определяются как <math>k</math>-цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:
- <math>Z_k(X) = Ker(\partial_k: C_k(X) \to C_{k-1}(X)), EducationBot (обсуждение) 19:31, 19 сентября 2023 (+04) B_k(X) = Im(\partial_{k+1}: C_{k+1}(X) \to C_k(X))</math>.
Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса: <math>\partial_{k+1} \circ \partial_k=0</math>, а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.
Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.
Гомологические теории
- Симплициальные гомологии — гомологии определяются для очень простых пространств (симплициальных комплексов).
Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.
- Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.
- Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.
Гомологии с коэффициентами в произвольных группах
Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы <math>G</math>. То есть, вместо групп <math>C_k(X)</math> рассматривать группы <math>C_k(X) \otimes G </math>.
Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства <math>X</math> с коэффициентами в группе <math>G</math> обозначаются <math>H_k(X;G).</math> Обычно применяют группу действительных чисел <math>\mathbb{R}</math>, рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, или циклическую группу вычетов по модулю <math>m</math> — <math>\mathbb{Z}_m</math>, причём обычно берётся <math>m=p</math> — простое число, тогда <math>\mathbb{Z}_p</math> является полем.
Другое описание. Применяя к комплексу <math>C_{*}(X)</math>
- <math>\ldots \xleftarrow{}C_{n-1}(X)\xleftarrow{}C_{n}(X)\xleftarrow{}C_{n+1}(X)\xleftarrow{}\ldots </math>
функтор <math>\cdot \otimes G </math>, мы получим комплекс
- <math>\ldots \xleftarrow{}C_{n-1}(X)\otimes G\xleftarrow{}C_{n}(X)\otimes G\xleftarrow{}C_{n+1}(X)\otimes G\xleftarrow{}\ldots </math>,
гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в <math>G</math>.
Когомологии
Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу <math>G</math>. То есть, пространство коцепей <math>C^k(X)=\operatorname{Hom}(C_k(X),G)</math>.
Граничный оператор <math>\delta^k:C^k\to C^{k+1}</math> определяется по формуле: <math>(\delta^k x)(c)=x(d_{k+1}c)</math> (где <math>x\in C^k,\; c\in C_{k+1}</math>). Для такого граничного оператора также выполняется
- <math>\delta^{k+1}\delta^k=0</math>, а именно
- <math>(\delta^{k+1}\delta^k(x))(c)=\delta^k x(d_{k+2}c)=x(d_{k+1}d_{k+2}c)=x(0)=0</math>.
Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов <math>Z^k(X,G)=\operatorname{Ker} \delta^k</math>, кограниц <math>B^k(X,G)=\operatorname{Im} \delta^{k-1}</math> и когомологий <math>H^k(X,G)=Z^k(X,G)/B^k(X,G)</math>.
Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.
Если <math>G</math> — кольцо, то в группе когомологий <math>H^*(X,G)</math> определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или <math>\cup</math>-произведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.
В случае, когда <math>X</math> — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий <math>H^*(X,\mathbb{R})</math> может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на <math>X</math> (см. Теорема де Рама).
Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.
Относительные гомологии и точная гомологическая последовательность
Возьмём случай двух топологических пространств <math>Y\sub X</math>. Группа цепей <math>C_k(Y)\sub C_k(X)</math> (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе <math>G</math>). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы <math>C_k(X,Y)=C_k(X)/C_k(Y)</math>. Так как граничный оператор <math>d</math> на группе гомологий подпространства <math>Y</math> переводит <math>d_k\colon C_k(Y)\to C_{k-1}(Y)</math>, то можно определить на факторгруппе <math>C_k(X,Y)</math> граничный оператор (мы его обозначим так же) <math>d_k\colon C_k(X,Y)\to C_{k-1}(X,Y)</math>.
Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в <math>0</math> будут называться относительными циклами <math>Z_k(X,Y)</math>, а цепи, которые являются его значениями — относительными границами <math>B_k(X,Y)</math>. Так как <math>dd=0</math> на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда <math>B_k(X,Y)\sub Z_k(X,Y)</math>. Факторгруппа <math>H_k(X,Y)=Z_k(X,Y)/B_k(X,Y)</math> называется группой относительных гомологий.
Так как каждый абсолютный цикл в <math>H_k(X)</math> является также и относительным то имеем гомоморфизм <math>j_k:H_k(X)\to H_k(X,Y)</math> По функториальному свойству вложение <math>i_k:Y\to X</math> приводит к гомоморфизму <math>i_*:H_k(Y)\to H_k(X)</math>.
В свою очередь можно построить гомоморфизм <math>d_{* k}:H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)</math>, который мы определим следующим образом. Пусть <math>c_k\in C_k(X,Y)</math> — относительная цепь, которая определяет цикл из <math>H_k(X,Y)</math>. Рассмотрим её как абсолютную цепь в <math>C_k(X)</math> (с точностью до элементов <math>C_k(Y)</math>). Так как это относительный цикл, то <math>d_k c</math> будет равен нулю с точностью до некоторой цепи <math>c_{k-1}\in C_{k-1}(Y)</math>. Положим <math>d_{* k}</math> равным классу гомологий цепи <math>c_{k-1}=d_k c \in Z_{k-1}(Y)</math>.
Если мы возьмём другую абсолютную цепь <math>c'_k\in C_k(X)</math>, определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь <math>c=c'+u</math>, где <math>u\in C_k(Y)</math>. Имеем <math>d_k c=d_k c'+d_k u</math>, но так как <math>d_k u</math> является границей в <math>Z_{k-1}(Y)</math> то <math>d_k c</math> и <math>d_k c'</math> определяют один и тот же элемент в группе гомологий <math>H_{k-1}(Y)</math>. Если взять другой относительный цикл <math>c</math>, дающий тот же элемент в группе относительных гомологий <math>c=c+b</math>, где <math>b</math> — относительная граница, то в силу того, что <math>b</math> граница для относительных гомологий <math>b=d_{k+1}x+v</math>, где <math>v\in C_k(Y)</math> , отсюда <math>d_k c=d_k c+d_k d_{k+1}x+d_k v</math>, но <math>dd=0</math>, а <math>d_k v</math> — граница в <math>Z_{k-1}(Y)</math>.
Поэтому класс гомологий <math>d_{* k}c_k</math> определен однозначно. Ясно по линейности оператора <math>d_{* k}</math>, что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:
- <math>i_{* k}\colon H_k(Y)\to H_k(X)</math>;
- <math>j_{* k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y)</math> и
- <math>d_{* k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)</math>;
- <math>...\to H_k(Y)\to H_k(X)\to H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)\to...</math>
Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.
Аксиомы Стинрода — Эйленберга
Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар <math>D</math> топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:
- Если <math>(X,Y)\in D,</math> то <math>(X,X)\in D,</math> <math>(X,\varnothing)\in D,</math> <math>(Y,Y)\in D</math> и <math>(Y,\varnothing)\in D</math>.
- Если <math>(X,Y)\in D</math>, то и <math>(X\times I,Y\times I)\in D</math>, где <math>I</math> — замкнутый интервал [0,1].
- <math>(*,\varnothing)\in D</math>, где <math>*</math> — одноточечное пространство.
В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа <math>H_k(X,Y)</math> и непрерывному отображению пар <math>f\colon (X,Y)\to(X',Y')</math> соответствует гомоморфизм <math>f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y')</math> (Пространство <math>X</math> отождествляется с парой <math>(X,\varnothing)</math>), а <math>H_k(X)</math> с <math>H_k(X,\varnothing)</math>), причём выполняются следующие аксиомы:
- Тождественному отображению пары <math>id</math> соответствует тождественный гомоморфизм <math>id_{*k}</math>.
- <math>(gf)_{*k} = g_{*k}f_{*k}</math> (функториальность)
- Определен граничный гомоморфизм <math>d_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y)</math>, причём если <math>f\colon (X,Y)\to(X',Y')</math>, то для соответствующего гомоморфизма <math>f_{*k}\colon H_k(X,Y) \to H_k(X',Y')</math> верно <math>d_{*k}f_{*k} = f_{*k-1}d_{*k}</math> для любой размерности <math>k</math>.
- Пусть <math>i\colon Y\to X</math> и <math>j\colon X\to (X,Y)</math> — вложения, <math>i_{*k}\colon H_k(Y)\to H_k(X)</math> и <math>j_{*k}\colon H_k(X)\to H_k(X,Y)</math> — соответствующие гомоморфизмы, <math>d_{*k}\colon H_k(X,Y)\to H_{k-1}(Y)</math> — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
<math>\ldots \to H_k(Y) \to H_k(X) \to H_k(X,Y) \to H_{k-1}(Y) \to \ldots</math>
точна (аксиома точности). - Если отображения <math>f,g\colon (X,Y)\to(X',Y')</math> гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны <math>f_{*k}=g_{*k}</math> для любой размерности <math>k</math> (аксиома гомотопической инвариантности).
- Пусть <math>U\sub X</math> — открытое подмножество <math>X</math>, причём его замыкание содержится во внутренности множества <math>Y</math>, тогда если пары <math>(X\setminus U, Y\setminus U)</math> и <math>(X,Y)</math> принадлежат допустимому классу, то для любой размерности <math>k</math> вложению <math>(X\setminus U, Y\setminus U) \hookrightarrow (X,Y)</math> соответствует изоморфизм <math>H_k(X\setminus U, Y\setminus U) \simeq H_k(X,Y)</math> (аксиома вырезания).
- Для одноточечного пространства <math>H_k(*)=0</math> для всех размерностей <math>k > 0</math>. Абелева группа <math>G=H_0(*)</math> называется группой коэффициентов (аксиома размерности).
Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе <math>G</math> их отображения и граничный гомоморфизм <math>d_*</math> удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.
Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.
Необходимо только иметь в виду, что отображению <math>f\colon (X,Y)\to(X',Y')</math> соответствует <math>f^{*k}\colon H^k(X',Y') \to H^k(X,Y)</math> (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм <math>\delta^{*k}\colon H^{k-1}(Y) \to H^k(X,Y)</math> увеличивает размерность.
Экстраординарные гомологии
В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.
Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей <math>k > 0</math>, называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.
См. также
Примечания
Литература
- Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — Шаблон:М: МЦНМО, 2005
- Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — Шаблон:М: Мир, 1976
- Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — Шаблон:М: Наука, 1984
- Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
- Лефшец С. Алгебраическая топология. — Шаблон:М: ИЛ, 1949
- Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
- Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — Шаблон:М: МЦНМО, 2006
- Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — Шаблон:М: Наука, 1985
- Спеньер Э. Алгебраическая топология. — Шаблон:М: Мир, 1971
- Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — Шаблон:М: Физматгиз, 1958
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
