для каждой пары объектов <math>A</math>, <math>B</math> задано множествоморфизмов (или стрелок) <math>\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(A,B)</math>, причём каждому морфизму соответствуют единственные <math>A</math> и <math>B</math>;
для пары морфизмов <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math> и <math>g\in \mathrm{Hom}(B,C)</math> определена композиция <math>g\circ f\in \mathrm{Hom}(A,C)</math>;
для каждого объекта <math>A</math> задан тождественный морфизм <math>\mathrm{id}_A\in \mathrm{Hom}(A,A)</math>;
операция композиции ассоциативна: <math>h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f</math> и
тождественный морфизм действует тривиально: <math>f\circ \mathrm{id}_A = \mathrm{id}_B\circ f = f</math> для <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math>
Малая категория
Шаблон:MainКласс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств.
Категория <math>\mathcal{C}</math>, в которой <math>\mathrm{Ob}_{\mathcal{C}}</math> является множеством и <math>\mathrm{Hom}(\mathcal{C})</math> (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой.
Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру[1].
В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.
Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы.
Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути.
Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:
Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится.
Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).
Основные определения и свойства
Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм
Морфизм <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math> называется изоморфизмом, если существует такой морфизм <math>g \in \mathrm{Hom}(B,A)</math>, что <math>g\circ f = \mathrm{id}_A</math> и <math>f\circ g = \mathrm{id}_B</math>.
Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными.
В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.
Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами.
Множество эндоморфизмов <math>\mathrm{End}(A) = \mathrm{Hom}(A,A)</math> является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом <math>\mathrm{id}_A</math>.
Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами.
Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов <math>\mathrm{Aut}(A)</math> по композиции.
Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм
Мономорфизм — это морфизм <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math> такой, что для любых <math>g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(X,A)</math> из <math>f\circ g_1 = f\circ g_2</math> следует, что <math>g_1=g_2</math>. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.
Эпиморфизм — это такой морфизм <math>f\in \mathrm{Hom}(A,B)</math>, что для любых <math>g_1,g_2\in \mathrm{Hom}(B,X)</math> из <math>g_1\circ f = g_2\circ f</math> следует <math>g_1=g_2</math>. Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.
Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом.
Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.
Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно.
Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.
Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.
Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.
Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.
Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.
Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество <math>\varnothing</math>, терминальным — любое множество из одного элемента <math>\{\cdot\}</math>.
Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.
Произведение (пары) объектов A и B — это объект <math>A\times B</math> с морфизмами <math>p_1: A\times B\to A</math> и <math>p_2: A\times B \to B</math> такими, что для любого объекта <math>C</math> с морфизмами <math>f_1: C\to A</math> и <math>f_2: C\to B</math> существует единственный морфизм <math>g: C \to A\times B</math> такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна.
Морфизмы <math>p_1: A\times B\to A</math> и <math>p_2: A\times B \to B</math> называются проекциями.
Двойственно определяется сумма или копроизведение <math>A+B</math> объектов <math>A</math> и <math>B</math>.
Соответствующие морфизмы <math>\imath_A: A\to A+B</math> и <math>\imath_B: B \to A+B</math> называются вложениями.
Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.
Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.
Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств <math>A\times B</math>, а сумма — дизъюнктное объединение <math>A \sqcup B</math>.
Пример: В категории колец Ring сумма — это тензорное произведение <math>A\otimes B</math>, а произведение — прямая сумма колец <math>A\oplus B</math>.
Пример: В категории VectK (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств <math>A\oplus B</math>.
Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов <math>\prod_{i\in I} A_i</math>.
Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные.
Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в VectK изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными.
Элементами бесконечного произведения <math>\prod_{i\in I} V_i</math> являются произвольные бесконечные последовательности элементов <math>v_i \in V_i</math>, в то время как элементами бесконечного копроизведения <math>\coprod_{i\in I} V_i</math> являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.
Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру.
Точнее,
(Ковариантный) функтор <math>\mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D}</math> ставит в соответствие каждому объекту категории <math>\mathcal{C}</math> объект категории <math>\mathcal{D}</math> и каждому морфизму <math>f: A\to B</math> морфизм <math>F(f): \mathcal{F}(A)\to \mathcal{F}(B)</math> так, что
<math>F(\mathrm{id}_A) = \mathrm{id}_{F(A)}</math> и
<math>F(g)\circ F(f) = F(g\circ f)</math>.
Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из <math>\mathcal{C}</math> в <math>\mathcal{D}^{op} </math> (или из <math>\mathcal{C}^{op}</math> в <math>\mathcal{D} </math>), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму <math>f: A\to B</math> он сопоставляет морфизм <math>F(f): \mathcal{F}(B)\to \mathcal{F}(A)</math>, соответственным образом обращается правило композиции: <math>F(g)\circ F(f) = F(f\circ g)</math>.
Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами.
Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.
Если <math>F</math> и <math>G</math> — ковариантные функторы из категории <math>C</math> в <math>D</math>, то естественное преобразование <math>\eta</math> сопоставляет каждому объекту <math>X</math> категории <math>C</math> морфизм <math>\eta_X: F(X)\to G(X)</math> таким образом, что для любого морфизма <math>f:X\to Y</math> в категории <math>C</math> следующая диаграмма коммутативна:
Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что <math>\eta_X</math> — изоморфизм для любого <math>X</math>.
