Русская Википедия:Теория линейных стационарных систем
Теория линейных стационарных систем — раздел теории динамических систем, изучающий поведение и динамические свойства линейных стационарных систем (ЛСС). Используется для изучения процессов управления техническими системами, для цифровой обработки сигналов и в других областях науки и техники.
Обзор
Определяющими свойствами для любой линейной стационарной системы являются линейность и стационарность:
- Линейность означает линейную связь между входом и выходом системы.
Формально, линейной называется система, обладающая следующим свойством:
- если сигнал на входе системы можно представить взвешенной суммой воздействий (например, двух) —
- x(t) = A·x1(t) + B·x2(t)
- то сигнал на выходе системы является также взвешенной суммой реакций на каждое из воздействий —
- y(t) = A·y1(t) + B·y2(t)
- для любых постоянных A и B.
- Стационарность — означает, что выходной сигнал системы как реакция на любой заданный входной сигнал одинаков для любого момента приложения входного сигнала (с точностью до времени запаздывания момента приложения входного сигнала). В более узком смысле — при запаздывании входного сигнала по времени на некоторую величину, выходной сигнал будет запаздывать на ту же самую величину.
Динамика систем, обладающих вышеперечисленными свойствами, может описываться одной простой функцией, к примеру, импульсной переходной функцией. Выход системы может рассчитываться как свёртка входного сигнала с импульсной переходной функцией системы. Этот метод анализа иногда называется анализом во временной области. Сказанное справедливо и для дискретных систем.
Кроме того, любая ЛСС может быть описана в частотной области с помощью своей передаточной функции, которая является преобразованием Лапласа импульсной переходной функции (или Z-преобразованием в случае дискретных систем). В силу свойств этих преобразований, выход системы в частотной области будет равен произведению передаточной функции и соответствующего преобразования входного сигнала. Другими словами, свёртке во временной области соответствует умножение в частотной области.
Для всех ЛСС собственные функции являются комплексными экспонентами. То есть, если вход системы представляет собой комплексный сигнал <math>A\exp({st})</math> с некоторой комплексной амплитудой <math>A</math> и частотой <math>s</math>, то выход будет равен некоторому сигналу <math>B\exp({st})</math> с комплексной амплитудой <math>B</math>. Отношение <math>B/A</math> будет являться передаточной функцией системы на частоте <math>s</math>.
Так как синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно-сопряжёнными частотами, если вход системы — синусоида, то выходом системы будет также синусоида, в общем случае с другой амплитудой и фазой, но с той же частотой.
Теория ЛСС хорошо подходит для описания многих систем. Большинство ЛСС гораздо проще анализировать, чем нестационарные и нелинейные системы. Любая система, динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является линейной стационарной системой. Примерами таких систем являются электрические схемы, собранные из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности (RLC-цепочки). Груз на пружинке также можно считать ЛСС.
Большая часть общих концепций ЛСС схожа как в случае непрерывных систем, так и в случае дискретных систем.
Стационарность и линейные преобразования
Рассмотрим нестационарную систему, чья импульсная характеристика представляет собой функцию двух переменных. Посмотрим, как свойство стационарности поможет нам избавиться от одного измерения. К примеру, пусть входной сигнал — <math>x(t)</math>, где аргумент — числа действительной оси, то есть <math>t \in \mathbb{R}</math>. Линейный оператор <math>\mathcal{H}</math> показывает, как система отрабатывает этот входной сигнал. Соответствующий оператор для некоторого набора аргументов представляет собой функцию двух переменных:
- <math>h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.</math>
Для дискретной системы:
- <math>h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.</math>
Так как <math>\mathcal{H}</math> — линейный оператор, воздействие системы на входной сигнал <math>x(t)</math> представляется линейным преобразованием, описываемым следующим интегралом (интеграл суперпозиции)
- <math>y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.</math>
Если линейный оператор <math>\mathcal{H}</math> ко всему прочему является и стационарным, тогда
- <math> h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.</math>
Положив
- <math> \tau = -t_2,</math>
получим:
- <math>h(t_1, t_2) = h(t_1 - t_2, 0).</math>
Для краткости записи второй аргумент в <math>h (t_1, t_2)</math> обычно опускается и интеграл суперпозиции становится интегралом свёртки:
- <math>y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).</math>
Таким образом, интеграл свёртки показывает как линейная стационарная система отрабатывает любой входной сигнал. Полученное соотношение для дискретных систем:
- <math>y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].</math>
Импульсная переходная функция
Если ко входу системы приложить входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, результирующий выходной сигнал ЛСС будет представлять собой импульсную переходную функцию системы. Запись:
- <math> (h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),</math>
Для дискретной системы:
- <math>x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[n-m].</math>
(из-за свойства сдвига дельта-функции).
Заметим, что:
- <math>h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{with } t = t_1 - t_2)</math>
то есть <math>h(t)</math> — импульсная переходная функция системы
Импульсная переходная функция используется для того, чтобы найти выходной сигнал системы как реакцию на любой входной сигнал. Кроме того, любой вход может быть представлен в виде суперпозиции дельта-функций:
- <math>x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau</math>
Приложив ко входу системы, получим:
- <math>\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau</math>
- <math>\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau</math> (так как <math>\mathcal{H}</math> линейна)
- <math>\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau</math> (так как <math>x(\tau)</math> постоянна по t и <math>\mathcal{H}</math> линейна)
- <math>\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau</math> (by definition of <math>h(t)</math>)
В импульсной переходной функции <math>h(t)</math> содержится вся информация о динамике ЛСС.
Собственные функции
Собственная функция — функция, для которой выход оператора представляет собой ту же функцию, в общем случае с точностью до постоянного множителя. Запись:
- <math>\mathcal{H}f = \lambda f</math>,
где f — собственная функция, и <math>\lambda</math> — собственное число, константа.
Экспоненты <math>e^{s t}</math>, где <math>s \in \mathbb{C}</math> являются собственными функциями линейного стационарного оператора. Простое доказательство:
Пусть входной сигнал системы <math>x(t) = e^{s t}</math>. Тогда выходной сигнал системы <math>h(t)</math> равен:
- <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau</math>
что эквивалентно следующему выражению в силу коммутативности свёртки:
- <math>\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau</math>
- <math> \quad = e^{s t} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau</math>
- <math> \quad = e^{s t} H(s)</math>,
где
- <math>H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t</math>
зависит только от s.
Таким образом, <math>e^{s t}</math> — собственная функция ЛСС.
Преобразования Лапласа и Фурье
Шаблон:Main Преобразование Лапласа
- <math>H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-s t} d t</math>
является точным способом получить собственные числа из импульсной переходной функции. Особенный интерес представляют чистые синусоиды, то есть экспоненты вида <math>\exp({j \omega t})</math> где <math>\omega \in \mathbb{R}</math> и <math>j</math> — мнимая единица. Они обычно называются комплексными экспонентами даже если аргумент не имеет действительной части. Преобразование Фурье <math>H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}</math> даёт собственные числа для чисто комплексных синусоид. <math>H(s)</math> называется передаточной функцией системы, иногда в литературе этот термин применяют и к <math>H(j\omega)</math>.
Преобразование Лапласа обычно используется для односторонних сигналов, то есть при нулевых начальных условиях. Начальный момент времени без потери общности принимается за ноль, а преобразование берётся от ноля до бесконечности (преобразование, которое получается при интегрировании также и до минус бесконечности, называется двустороннее преобразование Лапласа).
Преобразование Фурье используется для анализа систем, через которые проходят периодические сигналы, и во многих других случаях — например, для анализа системы на устойчивость.
Из-за свойств свёртки для обоих преобразований имеют место следующие соотношения:
- <math>y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau</math>
- <math>\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}</math>
Для дискретных систем:
- <math>y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[n-m] x[m]</math>
- <math>\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}</math>
Некоторые свойства
Некоторые из важных свойств любой системы — причинность и устойчивость. Для того, чтобы система существовала в реальном мире, должен выполняться принцип причинности. Неустойчивые системы могут быть построены и иногда быть даже полезными.
Причинность
Шаблон:Main Система называется причинной, если её выход зависит только от текущего или предыдущего приложенного воздействия. Необходимое и достаточное условие причинности:
- <math>h(t) = 0 \quad \forall t < 0,</math>
Для дискретных систем:
- <math>h[n] = 0 \ \forall n < 0,</math>
где <math>h(t)</math> — импульсная переходная функция. В явном виде определить причинная система или нет из её преобразования Лапласа в общем случае невозможно, так как обратное преобразование Лапласа не является уникальным. Причинность может быть определена когда задана область сходимости.
Устойчивость
Система является устойчивой по ограниченному входу, ограниченному выходу (Шаблон:Lang-en) если для каждого ограниченного входа выходной сигнал является конечным. Запись: Если
- <math>||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty</math>
и
- <math>||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \right)^{1/p} < \infty</math>
(то есть, максимумы абсолютных значений <math>x(t)</math> и <math>y(t)</math> конечны), тогда система устойчива. Необходимое и достаточное условие устойчивости: импульсная переходная характеристика системы, <math>h(t)</math>, должна удовлетворять выражению
- <math>||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.</math>
Для дискретных систем:
- <math>||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.</math>
В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось <math>s=j\omega</math>.
См. также
Ссылки
