Русская Википедия:Теория ожидаемой полезности

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

В экономической науке, теории игр, теории принятия решений теория ожидаемой полезности — альтернатива математическому ожиданию, формула, которая может использоваться рациональным игроком при принятии решений.

Смысл гипотезы

Рациональный игрок при выборе решения пытается максимизировать некоторую величину (благо); кажется естественным в качестве такой величины использовать математическое ожидание блага, появляющегося в результате избранного решения. Однако опыт показывает, что в реальной жизни многие участники лотерей выбирают решение с меньшим математическим ожиданием, но и с меньшим риском. Например, поставленные перед выбором получить тысячу рублей с вероятностью 0,2 % (математическое ожидание — 2 рубля) или получить один рубль с вероятностью 100 % (математическое ожидание — 1 рубль), многие люди предпочтут гарантированную выплату, несмотря на её меньшее математическое ожидание. Для описания такого поведения и была придумана формула ожидаемой полезности.

История

В 1947 году вышло второе издание книги Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение», где впервые была изложена теория ожидаемой полезности. Новая теория возникла как дополнение к теории игр. В вводной главе книги, рассказывающей о применении теории игр в экономике, авторы кратко излагают основные положения экономической теории и предлагают новый метод для оценки полезности благ — именно здесь и была изложена аксиоматика теории ожидаемой полезности[1].

В 1948 году математик Леонард Сэвидж и экономист Милтон Фридмен разработали теорию отношения к риску. Они поделили людей на два типа: склонных к риску (любителей лотерей, азартных игр, рискованных инвестиций) и испытывающих неприятие к риску. Для склонных к риску возможность сыграть честную в лотерею оценивается выше, чем её достоверный эквивалент. Те же, кто испытывает неприятие к риску, наоборот ниже оценивают возможность сыграть в лотерею[1].

Аксиоматика теории ожидаемой полезности

Поведение рационального игрока в теории ожидаемой полезности основывается на четырёх аксиомах:

  1. Аксиома полноты. Для любых исходов <math>A</math>, <math>B</math> должно выполняться соотношение <math>A > B</math>, <math>B > A</math> или <math>A = B</math>. То есть, при выборе между А и B игрок должен или предпочитать вариант А, или предпочитать вариант B, или ему должно быть всё равно.
  2. Аксиома транзитивности. Если <math>A > B</math> и <math>B > C</math>, то <math>A > C</math>. То есть, если игроку A кажется лучше, чем B, а B — лучше, чем C, то для него A будет лучше, чем C.
  3. Аксиома независимости. Предположим, что <math>A > B</math> и вероятность <math>p \in (0;1]</math>, тогда для любого C <math> pA + (1- p)C > pB + (1- p)C</math>. То есть, если для игрока A лучше, чем B, то он предпочтёт замену B на А (с той же вероятностью p), независимо от третьей альтернативы C. Из четырёх аксиом эта — наиболее спорная.
  4. Аксиома непрерывности. Предположим, что <math>A > B > C</math>, тогда <math>B</math> можно представить в виде <math> pA + (1- p)C</math>, где <math>p \in (0;1]</math>. То есть, если игроку вариант A нравится больше, чем B, а B — больше, чем C, то существует такая вероятность p, что игроку будет всё равно, получит ли он B гарантированно или положится на случай, который предоставит ему либо более полезный, чем B, вариант A с негарантированной вероятностью p, либо менее полезный C. В применении к примеру из начала этой статьи, при некоторой вероятности p игроку будет всё равно, получить ли ему гарантированную выплату суммы B (1 рубль) или сыграть в лотерею, в которой он может выиграть А (1000 рублей) с вероятностью p, но может и ничего не выиграть (C = 0 рублей).

Выводы из теории ожидаемой полезности

В предположении, что аксиомы выполняются, а благо аддитивное, предпочтения рационального игрока будут определяться сравнительно простой формулой.

Функционал риска является линейным, таким образом полезность фон Неймана — Моргенштерна для <math>n</math> благ можно представить в виде <math>U = \sum_{i=1}^n p_i U(x_i)</math>, где <math>\sum_{i=1}^n p_i = 1</math>

Здесь <math>x_i</math> — это i-й результат, а <math>U(x_i)</math> — его полезность.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

См. также

Шаблон:Теория игр Шаблон:Экономическая наука Шаблон:Нет сносок

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 Кириякова Н. И. Теория ожидаемой полезности Шаблон:Wayback // Academy. 2015
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теория_ожидаемой_полезности&oldid=10920662