Русская Википедия:Теория операторов
Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.
Отображение <math>T</math> из векторного пространства <math>X</math> в векторное пространство <math>Y</math> называется линейным оператором если <math>T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)</math> для любых <math>x</math> и <math>y</math> в <math>X</math> и любых скаляров <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>. Часто пишут <math>Tx</math> вместо <math>T(x)</math>. Линейный оператор из нормированного пространства <math>X</math> в нормированное пространство <math>Y</math> называется ограниченным если найдется положительное вещественное число <math>M</math> такое что <math>\lVert Tx\rVert\leqslant M\lVert x\rVert</math> для всех <math>x</math> в <math>X</math>. Наименьшая константа <math>M</math> удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора <math>T</math> и обозначается <math>\lVert T\rVert</math>. Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.
Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства <math>X</math> в нормированное пространство <math>Y</math> обозначается <math>L(X,\;Y)</math>. В случае когда <math>X=Y</math> пишут <math>L(X)</math> вместо <math>L(X,\;X)</math>. Если <math>H</math> — гильбертово пространство, то обычно пишут <math>B(H)</math> вместо <math>L(H)</math>. На <math>L(X,\;Y)</math> можно ввести структуру векторного пространства через <math>(T+S)x=Tx+Sx</math> и <math>(\alpha T)x=T(\alpha x)=\alpha(Tx)</math>, где <math>T,\;S\in L(X,\;Y)</math>, <math>x,\;y\in X</math>, а <math>\alpha</math> — произвольный скаляр. С введённой операторной нормой <math>L(X,\;Y)</math> превращается в нормированное пространство.
В частности, <math>\lVert S+T\rVert\leqslant\lVert S\rVert+\lVert T\rVert</math> и <math>\lVert\alpha T\rVert=\left|\alpha\right|\cdot\lVert T\rVert</math> для любых <math>T,\;S\in L(X,\;Y)</math> и произвольного скаляра <math>\alpha</math>. Пространство <math>L(X,\;Y)</math> является банаховым тогда и только тогда когда <math>Y</math> — банахово.
Пусть <math>X,\;Y</math> и <math>Z</math> — нормированные пространства, <math>S\in L(X,\;Y)</math> и <math>T\in L(Y,\;Z)</math>. Композиция <math>S</math> и <math>T</math> обозначается <math>TS</math> и называется произведением операторов <math>S</math> и <math>T</math>. При этом <math>TS\in L(X,\;Z)</math> и <math>\lVert TS\rVert\leqslant\lVert T\rVert\cdot\lVert S\rVert</math>. Если <math>X</math> — банахово пространство, то <math>L(X)</math>, оснащённое произведением, является банаховой алгеброй.
В теории операторов можно выделить несколько основных разделов:
- Спектральная теория изучает спектр оператора.
- Классы операторов. В частности, компактные операторы, фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
- Операторы на специальных нормированных пространствах.
- На гильбертовых пространствах изучают самосопряжённые, нормальные, унитарные, положительные операторы и др.
- На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом и др.
- На банаховых решётках: положительные операторы, регулярные операторы и др.
- Совокупности операторов (то есть, подмножества <math>L(X)</math>): операторные алгебры, операторные полугруппы и др.
- Теория инвариантных подпространств.
Литература
- Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.
- Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962. — 896 с.
- Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. — М.: Мир. 1966. — 1064 с.
