Русская Википедия:Теория пластин

Шаблон:Якорь2 Связь смещений и деформаций в плоскости пластины

Тео́рия пласти́н — раздел теории упругости, в котором рассматриваются упругие тела с толщиной много меньше, чем остальные геометрические размерыШаблон:Переход. Сведение трёхмерной задачи теории упругости к двумерной и её решение являются основными темами теории пластин. Общий вопрос теории заключается в нахождении уравнений, отвечающих за связи между деформациями и напряжениями при различных допущениях. В случае тонких пластин и малых прогибов применяют теорию Кирхгофа — Лява. Большие прогибы тонких пластин описываются уравнениями Фёппля — фон Кармана. Для упругих свойств толстых пластин применяют теорию Миндлина. Исторически теория пластин развивалась в связи с многочисленными практическими применениями в строительстве, а позже — в кораблестроении и самолётостроении, где важны расчёты на прочность Шаблон:Переход.

В общем случае теория пластин строится на выводе уравнений для совместности деформаций Шаблон:Переход, уравнений равновесияШаблон:Переход, указания материальных соотношений теории упругостиШаблон:Переход и заданием граничных условийШаблон:Переход. Современная трактовка уравнений теории пластин основывается на вариационных принципах Шаблон:Переход. Если задача имеет высокую симметрию, то уравнения теории пластин принимают упрощённый видШаблон:Переход. В целом теория пластин в её оригинальной аналитической формулировке теряет актуальность, и, в настоящее время, используют численные методы для расчёта пластинШаблон:Переход, среди которых наибольшей распространённостью пользуются методы конечных элементов Шаблон:Переход.

Определения и классификация пластин

Тело, имеющее форму прямой призмы или прямого цилиндра с высотой (толщиной) много меньше, чем другие размеры, называется пластиной (пластинкой) с постоянной толщиной. В таком теле можно выделить срединную плоскость, которая делит пополам толщину пластинки, а её пересечение с боковыми поверхностями формирует контур пластины. В задачах теории пластин рассматривают пластины, закреплённые по контуру, и силы (усилия) натуральным образом делятся на две компоненты: действующие в срединной плоскости и действующие перпендикулярно ейШаблон:Sfn. При решении задачи обычно интересует форма срединной плоскости после приложения внешних сил и граничных условий. При этом точки срединной плоскости при изгибах (прогибах) переходят в новые положения и формируют срединную поверхность. Прогибы пластины считаются сравнимыми с толщиной пластины, что соответствует большим прогибам, но малы по сравнению с другими размерами пластины, и срединная поверхность полога. При определённом характере напряжений в пластине можно говорить о трёх категориях пластин: жёстких, гибких и абсолютно гибких пластинах или мембранахШаблон:Sfn. При отсутствии или пренебрежении напряжений растяжения-сжатия срединной плоскости говорят о жёстких пластинах. При учёте напряжений (помимо изгибных), распределённых по толщине (так называемые мембранные напряжения), возникает неразвёртывающаяся поверхность, то есть часть пластины увеличивает или уменьшает длины составных слоёв срединного слоя пластины. Если можно пренебречь собственными изгибными напряжениями по сравнению с напряжениями в срединной плоскости, то говорят об абсолютно гибких пластинах или мембранахШаблон:Sfn. Условно можно говорить о жёстких пластинах при величине прогиба меньше, чем 1/5 от толщины, а о мембранной пластине, если прогиб в 5 раз больше толщины пластиныШаблон:Sfn.

История

Исследованию тонких пластин положила начало работа Эйлера, опубликованная в трудах Петербургской Академии наук в 1766 году, который рассмотрел колебания абсолютно гибких пластин (или мембран) прямоугольной и круглой формШаблон:Sfn. Он решал волновое уравнение для малых колебаний. Впервые колебания жёстких пластин рассмотрел ученик Эйлера Я. Бернулли в 1788 году. Он рассмотрел линейное дифференциальное уравнение 4-ой степени для малых прогибов, но не учёл смешанные производные, которые отвечают за кручение пластины, поскольку рассматривал прямоугольную пластину как сетку упругих балокШаблон:Sfn. В 1809 году Хладни продемонстрировал свои эксперименты с песком, насыпанном на вибрирующие пластинки во Французской академии наук, которая установила премию благодаря присутствующему на заседании Наполеону за разработку математической теорииШаблон:Sfn. Первой использовать вариационный подход в теории пластин в 1811 году стала С. Жермен, которая рассмотрела эту задачу и оказалась единственным кандидатом на получение премии, но получила неправильный результат из-за некорректного выражения для потенциальной энергии и осталась без премииШаблон:Sfn. Результат был исправлен Лагранжем в 1813 году, который присутствовал на докладе С. Жермен. Уравнение для малых прогибов тонкой пластины носит название уравнение Лагранжа — Жермен. Существенный вклад в теорию жёстких пластин внесли работы Навье и Кирхгофа, которые решали уравнения для малых прогибов для некоторых граничных условияхШаблон:Sfn. В 1812 году Пуассон применил теоретические воззрения об атомарных силах Бошковича для рассмотрения упругости мембранШаблон:Sfn. Уравнения равновесия для упругого тела получил в 1821 году Навье исходя из молекулярного строения твёрдых телШаблон:Sfn. Навье также построил первую приемлемую теорию изгиба пластинок под действием равномерно распределённой нагрузки и рассмотрел задачу о выпучивании пластины под действием сжимающих силШаблон:Sfn.

Понятие о функции напряжения ввёл Эйри, когда рассматривал двумерный аналог теории балок в 1862 годуШаблон:Sfn. Треска представил в 1868 году доклады во Французскую академию наук о течении металлов под большим давлением. Сен-Венан, заинтересовавшись этими докладами, ввёл понятие динамической пластичности металлов и рассмотрел несколько задач о кручении брусьевШаблон:Sfn.

Теория гибких пластинок оказалась востребована в кораблестроении на рубеже XIX и XX веков в связи с переходом к металлическим корпусам судов. Увеличение тоннажа судов приводило к прогибам обшивки бо́льшим, чем её толщинаШаблон:Sfn. И. Г. Бубнов поставил такую задачу в приложении к кораблестроению и решил её. В 1902 году он опубликовал работу «Напряжения в обшивке судов от давления воды». В этой работе он указал на наблюдаемое, во многих случаях, превышение напряжений над допустимыми при статической нагрузке. И. Г. Бубнов предложил использовать разделение пластин по характеру напряжённого состояния в них на жёсткие, гибкие и мембраны. в 1906—1907 годах ввёл в обиход применение метода последовательных приближений и использовал его для расчёта корпуса линейных кораблей класса «Севастополь».

Кирхгоф поставил задачу о нахождении уравнений для большого прогиба пластин и показал, что деформация срединной плоскости в таком случае зависит от прогиба нелинейно. В конечном виде уравнение равновесия он не получил, хотя предварительные выкладки сделал. Сен-Венан в 1881 году в комментариях для книги Клебша «Теория упругости» вывел уравнение для больших прогибов пластинки, но считал усилия заданнымиШаблон:Sfn. В 1907 году Фёппль рассмотрел систему уравнений для больших прогибов абсолютно гибких пластин и ввёл функцию напряжений. В 1910 году фон Карман дополнил уравнения Фёппля членом с цилиндрической жёсткостью, представив современную систему уравнений для больших прогибов пластин, названную уравнениями Фёппля — фон Кармана Шаблон:Sfn. С. П. Тимошенко рассмотрел круглую пластину с приложенным по контуру моментом нагрузки. Для решения он применил метод Ритца.

В 1930-х годах в Советском Союзе и в мире исследования тонких пластин получили большой толчок из-за бурного развития самолётостроения. В частности, важным вопросом была устойчивость пластин при усилиях сжатия и сдвига в срединной плоскости. Задача определения несущей способности обшивки оказалась наиболее востребована в самолётостроенииШаблон:Sfn. В 1929—1932 годах Г. Вагнер и фон Карман рассмотрели закритические деформации пластинок при сдвиге и сжатии. Аналогичные исследования опубликовал П. А. Соколов в 1932 году. Энергетический метод для теории устойчивости пластин применили Маргерр, Кромм и Треффц в 1937 году. Также П. Я. Полубаринова-Кочина использовала впервые метод возмущений, когда неизвестные функции раскладываются в ряд по малому параметру, для решения тех же задач.

В 1936 году Г. Г. Ростовцев получил уравнения для анизотропной пластинки. В последующем он рассмотрел закритические деформации изотропных и ортотропных пластинШаблон:Sfn.

С. Уэй рассмотрел задачу о больших прогибах круглой защемлённой по контуру пластины с равномерной внешней нагрузкой^[1]. Он получил точное решение для уравнений фон Кармана в виде бесконечных рядов. Для более быстрой сходимости Р. С. Алвар и др. использовал разложение искомых функций в ряд полиномов Чебышёва^[2]. В последующей статье результат был обобщён на случай больших перемещений ортотропной пластины, где рассматривались также численные решения для колебаний круглой пластины с различными граничными условиями^[3]. В. В. Соколовский рассмотрел вопрос о пластических деформациях свободно опертых круглой и кольцевой пластинок с использованием поверхности пластичности Мизеса^[4]^[5]. Охаши Ю. и др. рассмотрели упруго-пластические деформации защемлённой круглой пластины при равномерной кольцевой нагрузке, используя метод Соколовского^[6].

Уравнение совместности деформаций

Уравнения совместности деформаций возникают при рассмотрении сплошного тела. Деформации в таком случае не могут быть независимыми. Пусть h — толщина пластины, x и y — декартовы координаты заданные в срединной плоскости, z — направление, определяющее прогибы пластины. Перемещения вдоль осей x, y и z задаются функциями двух координат срединной плоскости u(x,y), v(x,y) и w(x,y), соответственно. Деформации удлинения срединной плоскости в направлении x и y обозначаются посредством <math>\varepsilon_x</math> и <math>\varepsilon_y</math>, а также деформация сдвига в плоскости xy обозначается <math>\gamma</math>. Каждая из деформаций зависит от функций перемещенийШаблон:Sfn. Пусть точка A (см. рис. 1) с координатами (x,y) переместится на (u,v), точка B с координатами (x+dx,y) перемещается в точку <math>\left(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx,\,v+\frac{\partial v}{\partial x}dx\right)</math>, точка C с координатами (x,y+dy) перемещается в точку <math>\left(u+\frac{\partial u}{\partial y}dy,\,v+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)</math>Шаблон:Sfn. Теперь зная новые длины сторон dx₁,dy₁ из геометрических соображений можно определить относительное удлинение в направлении x до второго порядка малости и первого порядка, который нас интересуетШаблон:Sfn:

<math>\varepsilon_x^{'}=\frac{dx_1-dx}{dx}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2\approx\frac{\partial u}{\partial x}\,.</math>

Перемещения в срединной плоскости для тонких пластин считаются малыми и обычно отбрасывают второй порядок малости, так как основной вклад вносит перемещение перпендикулярное срединной плоскости. Аналогично получают выражение для деформации по y.

<math>\varepsilon_y^{'}\approx\frac{\partial v}{\partial y}\,.</math>

Для деформации сдвига рассматривают разность между прямым углом образованным элементами dx и dy и новым углом после деформации. До первого порядка малости

<math>\gamma_3=\gamma_1+\gamma_2=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}</math>

Файл:Strain-displacement-2D-z.svg

Шаблон:Якорь2 Связь деформаций с перемещениями для прогиба пластины

При деформации обусловленной прогибом w удлинение элемента длины находится из геометрических соображений (см. рис. 2).

<math>dx_2=\sqrt{(dx)^2+\left(\frac{\partial w}{\partial x}dx\right)^2} \,.</math>

и соответствующая деформация по x и yШаблон:Sfn

<math>\varepsilon_x^{}\frac{dx_2-dx}{dx}\approx\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2\,,</math>

<math>\varepsilon_y^{}\frac{dy_2-dy}{dy}\approx\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2\,.</math>

Для деформации сдвига можно получить выражение

<math>\gamma^{}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial w}{\partial x}</math>

Собирая все вклады для деформации срединной плоскости и прогиба, выражения для деформаций запишутся в видеШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула Дифференцируя <math>\varepsilon_x</math> дважды по y <math>\varepsilon_y</math> дважды по x <math>\gamma</math> один раз по x и один раз по y, получим выражение для неразрывности деформацийШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула

Уравнение совместимости деформаций пластины c дополнительным прогибом

При наличии дополнительного прогиба пластины w₀ уравнения для связи деформаций с перемещениями также можно записать в замкнутой форме. Эти уравнения всё ещё полезны и имеют простой вид по сравнению с более общей теорией оболочек, где приходится использовать криволинейные координатыШаблон:Sfn:

<math>\varepsilon_x=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial (w+w_0)}{\partial x}\right)^2-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w_0}{\partial x}\right)^2\,,</math>

<math>\varepsilon_y=\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial (w+w_0}{\partial y}\right)^2-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w_0}{\partial y}\right)^2\,,</math>

<math>\gamma=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial (w+w_0)}{\partial x}\frac{\partial (w+w_0)}{\partial y}-\frac{\partial w_0}{\partial x}\frac{\partial w_0}{\partial x}\,.</math>

Уравнение совместимости деформаций при начальном прогибе пластины принимает видШаблон:Sfn

<math>\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varepsilon_y}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\gamma}{\partial x\partial y}=\left(\frac{\partial^2 (w+w_0)}{\partial x\partial y}\right)^2-\left(\frac{\partial^2 w_0}{\partial x\partial y}\right)^2-\frac{\partial^2 (w+w_0)}{\partial x^2}\frac{\partial^2 (w+w_0)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 w_0}{\partial x^2}\frac{\partial^2 w_0)}{\partial y^2}\,.</math>

Напряжения в пластине

Из-за двумерного характера системы напряжение в пластине толщиной h можно разделить на два вклада. Первый вклад относится к равномерному изменению напряжения по толщине пластины, а второй — к изгибным напряжениям. Напряжения срединной плоскости представлены на рисунке 3a. Двум граням параллельным координатным осям x и y соответствуют нормальные напряжения <math>\sigma_x</math> и <math>\sigma_y</math>. Также определяются положительные касательные напряжения обозначенные на рисунке 1a <math>\tau</math>Шаблон:Sfn. Изгибные напряжения показаны на рисунке 1b. Нормальные изгибные напряжения при нормали к грани (показана красным) параллельной оси x в точке z обозначаются <math>\sigma_{x,d}</math>. Касательные напряжения в той же точке разбиваются на две компоненты <math>\tau_{x,d}</math> и <math>\tau_d</math>. На другой грани (зелёной) соответствующие нормальные и касательные напряжения равны <math>\sigma_{x,d}</math>, <math>\tau_{y,d}</math> и <math>\tau_d</math>. <math>\tau_d</math> на обеих гранях равны по теореме о взаимности касательных напряженийШаблон:Sfn.

Файл:Platebendingmoments.svg

Шаблон:Якорь2 Обозначения усилий в пластине

Для пластин вводят изгибающий момент (на единицу длины) по правилам для сечения (изображено на рисунке 1с), нормального к оси xШаблон:Sfn: Шаблон:Нумерованная формула и аналогично для сечения, нормального к оси y: Шаблон:Нумерованная формула Моменты, которые изгибают пластинку так, чтобы срединная поверхность имеет положительную кривизну считаются положительными. Крутящие моменты на единицу длины, то есть отвечающие за кручение пластины показаны на рисунке 1d, вводят для пар касательных напряжений <math>\tau_d</math> по правилу Шаблон:Нумерованная формула Касательные напряжения <math>\tau_{x,d}</math> и <math>\tau_{y,d}</math> входят в интегралы для поперечных силШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула

Уравнение равновесия

Файл:Plateequilibrium.svg

Шаблон:Якорь2 Для вывода уравнения равновесия

Пластина находится в покое, то есть не двигается или двигается с постоянной скоростью, при действии внешних сил и внутренних напряжений. Зная все силы действующие на элемент пластинки, можно составить уравнения равновесия. Например, приравнивая суммы проекций на ось x всех сил действующих на пластинку можно записатьШаблон:Sfn

<math>\left(\sigma_x+\frac{\partial\sigma_x}{\partial x}dx\right)hdy-\sigma_xhdy+\left(\tau+\frac{\partial\tau}{\partial y}dy\right)hdx-\tau hdx=0\,,</math>

или после упрощения Шаблон:Нумерованная формула Соответственно для проекции на ось y записывается аналогичное выражение Шаблон:Нумерованная формула Действие моментов на линию в плоскости параллельной оси y записывается в видеШаблон:Sfn

<math>\left(M_x+\frac{\partial M_x}{\partial x}dx\right)dy-M_xdy+\left(H+\frac{\partial H}{\partial y}dy\right)dx-Hdx-qdxdydx/2-\frac{\partial Q_y}{\partial y}dydxdx/2-\left(Q_x+\frac{\partial Q_x}{\partial x}dx\right)dydx=0</math>

или, приводя подобные при дифференциалах и исключая малые более высоких порядков, можно получить Шаблон:Нумерованная формула Относительно оси x аналогичное выражение принимает вид Шаблон:Нумерованная формула

Проекции сил на вертикальное направление с учётом деформации пластинки можно получить из равенства (см. рис. 4)Шаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула

Уравнения равновесия пластины c дополнительным прогибом

В случае если пластина имеет изначальный прогиб w_- уравнение равновесия для вертикально направления можно записать в видеШаблон:Sfn

<math>\frac{\partial Q_x}{\partial x}+\frac{\partial Q_y}{\partial y}+\sigma_x h\frac{\partial^2 (w_0+w)}{\partial x^2}+\sigma_y h\frac{\partial^2 (w_0+w)}{\partial y^2}+2\tau h\frac{\partial^2 (w_0+w)}{\partial y\partial x}+q=0\,.</math>

Остальные уравнения сохраняют свой вид.

Соотношения между деформациями и напряжениями

Предполагается, что параллельные срединной поверхности слои пластины не оказывают давления друг на друга. Связь между деформациями и напряжениями в пластине задаётся материальными соотношениями, зависящими от упругих свойств материала, как и в случае плоского напряжённого состоянияШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула где E — модуль Юнга, <math>\mu</math> — коэффициент Пуассона, G — модуль сдвига. <math>\sigma_z</math> можно пренебречь. Для изгибных напряжений в любом слое соотношения идентичны. Напряжения изгиба можно записать через перемещенияШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула Для моментов и крутящего момента верны следующие выражения полученные после интегрирования по толщине изгибных напряжений Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула где <math>D=Eh^3/(12(1-\mu^2))</math> — цилиндрическая жёсткость пластины.

Определим оператор Лапласа как

<math>\nabla^2w=\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2w}{\partial y^2}\,,</math>

тогда поперечные силы можно записать через цилиндрическую жёсткость в простом виде Шаблон:Нумерованная формула

Система основных уравнений для пластины

Шаблон:Main Для связи между поперечными силами и прогибом удобно ввести функцию напряжений, которая определяется следующим образомШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Введение данной функции мотивировано занулением уравнений равновесия (Шаблон:Eqref) и (Шаблон:Eqref). Уравнение равновесия для вертикального направления с поперечными силами перепишутся в видеШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Это уравнение связывает прогиб тонкой пластины с интенсивностью внешней нагрузки q. Функцию напряжений, используя уравнение совместности деформаций, можно представить в виде Шаблон:Нумерованная формула Эту систему можно записать более компактно через нелинейный дифференциальный оператор L(w,F): Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула где оператор L определён как Шаблон:Нумерованная формула Эта система из двух уравнений задаёт основные уравнения для расчёта прогиба и напряжений тонких пластинок. Их вывел фон Карман. Эти уравнения используются для вывода уравнений для частных случаев. Например, в случае жёсткой пластины под действием только поперечной нагрузки пренебрегают напряжениями в срединной плоскости и F=0. Если жёсткая пластина подвержена поперечной силе и напряжения в срединной плоскости не зависят от прогиба, то уравнения становятся линейными. Для мембран предполагают изгибную жёсткость равную нулюШаблон:Sfn.

Система основных уравнений для пластины с начальным изгибом

Геометрический метод также позволяет вывести уравнения фон Кармана для пластин и изначальным прогибом w₀ с использованием оператора LШаблон:Sfn:

<math>\frac{D}{h}\nabla^2\nabla^2w=L(w,F)+L(w_0,F)+\frac{q}{h}\,,</math>

<math>\frac{1}{E}\nabla^2\nabla^2F=-\frac{1}{2}L(w,w)-L(w_0,w)\,,</math>

Граничные условия

В каждой точке контура пластины нужно задать четыре граничных условия для полной постановки задачи о прогибе тонкой пластиныШаблон:Sfn. Граничные условия могут принимать форму геометрических условий или быть выражениями сил действующих на контур. Наиболее часто встречающиеся граничные условия приведены в таблице

Граничные условияШаблон:Sfn
Название	Математическая формулировка	Примечания
Край оперт и без прогиба	<math>w=0</math>
Край защемлён	<math>\frac{\partial w}{\partial x}=0</math>
Край шарнирно оперт	<math>M_x=0</math>	Используя определение, это условие можно переписать в виде <math>\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\mu\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}</math>
Край не нагружен и свободно смещается по вертикали	<math>R_x=\frac{\partial^3 w}{\partial x^3}+(2-\mu)\frac{\partial^3 w}{\partial x\partial y^2}=0</math>
Край оперт на упругое ребро	<math>EI\frac{\partial^4 w}{\partial x^4}=R_x</math>	EI — жёсткость ребра, R_x определена в предыдущем условии.
Край не нагружен и свободно смещается по оси x	<math>\sigma_x=\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}=0</math>
Край не нагружен и свободно смещается по оси y	<math>\tau=\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=0</math>	Сдвиг по направлению самой грани
Края со связью	<math>u_{x=a}-u_{x=0}=0</math>	Расстояние между краями фиксировано. Это условие можно выразить в виде <math>\int_0^a\left[\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\mu\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}-\frac{E}{2}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)\right]=0</math>
Края со связью	<math>u_{x=a}-u_{x=0}=ae_x</math>	Сдвиг между краями конечен. Это условие можно выразить в виде <math>\int_0^a\left[\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}-\mu\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}-\frac{E}{2}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)\right]=ae_x</math>

Принцип возможных перемещений

Из-за сложности общих уравнений для прогиба тонких пластин для решения уравнений применяются приближённые методы. В частности, вариационный метод оказывается полезен как для вывода уравнений, так и для получения приближённых решений. Согласно началу или принципу возможных перемещений применённому к деформированному телуШаблон:Sfn: Шаблон:Рамка Реальное равновесное состояние упругой системы характеризуется тем, что сумма работ всех внешних и внутренних сил на любых кинематически возможных перемещениях точек упругой системы равна нулю. Шаблон:Конец рамки Под возможными перемещениями следует понимать бесконечно малые перемещения точек системы, причём соответствующие деформации должны удовлетворять условиям совместности деформаций. Этот принцип запишется кратко в виде:

<math>\delta W+\delta A_s+\delta A_d=0\,,</math>

где <math>\delta W</math> — работа внешних сил, а другие слагаемые отвечают за работу внутренних сил. Их можно рассматривать независимо. Первое слагаемое <math>\delta A_s</math> связано с работой усилий в срединной плоскости, а второе слагаемое <math>\delta A_d</math> отвечает за прогиб пластины. Разделение таким образом работ соответствует идее независимости работы усилий в срединной плоскости от изгиба, так же как усилия изгиба не совершают работы при деформации срединной плоскостиШаблон:Sfn. Полная работа усилий в срединной плоскости определяется функционалом

<math>\delta A_s=-h\iint_F(\sigma_x\delta\varepsilon_x+\sigma_y\delta\varepsilon_y+\tau\delta\gamma)dxdy\,,</math>

где интегрирование производится по всей поверхности пластины. Для работы изгиба учитывается толщина прямоугольной пластины, так как изгибные усилия зависят простым образом от толщиныШаблон:Sfn

<math>\delta A_d=-\int_{-h/2}^{h/2}dz\iint_F(\sigma_{x,d}\delta\varepsilon_{x,d}+\sigma_{y,d}\delta\varepsilon_{y,d}+\tau_d\delta\gamma_d)dxdy\,.</math>

Работа же внешних сил разложится на несколько слагаемых связанных с действием внешних сил на объём и на каждую из граней, а также учёт работы внешних сил при прогибе. Тогда вариационное уравнение для прогиба пластины основанное на принципе возможных перемещений примет видШаблон:Sfn:

Шаблон:Нумерованная формула

Из этого вариационного уравнения можно вывести первое уравнение равновесия для прогибов. Оно учитывает различные статические граничные условия заданные на контурных линиях прямоугольной пластины.

Приближённые методы решения

Вариационные методы

Часто для нахождения аналитического решения конкретной задачи применяют разложение прогиба в рядШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула где функции двух переменных η_i(x,y) удовлетворяют всем необходимым граничным условиям. Для поиска функции напряжения подставляют этот ряд в (Шаблон:Eqref) и интегрируют с учётом граничных условий. Если подставить этот ряд в вариационное уравнение (Шаблон:Eqref), то все контурные интегралы обратятся в ноль из-за выбора вида функций в ряде. Останется только поверхностный интеграл Шаблон:Нумерованная формула где Шаблон:Нумерованная формула Подставляя разложение прогиба с вариативными коэффициентами в этот интеграл, можно получить сумму в виде Шаблон:Нумерованная формула что приводит к системе нелинейных уравнений относительно коэффициентов f_i согласно правилу о занулении коэффициентов при вариациях, то есть интегралов типа Шаблон:Нумерованная формула Эти интегралы образуют систему n алгебраических уравнений третьей степени. Такие уравнения называются уравнениями Бубнова — Галёркина. Находя эти коэффициенты, можно вычислить прогиб и функцию напряжений. Степень приближения этого метода к точному решению зависит от выбора начальных функций. На основе вариационных принципов построен также метод Ритца Шаблон:Sfn. В некоторых подходах из-за сложности удовлетворения граничным условиях используют разложения двух неизвестных функций: функции напряжений и прогиба; или всех трёх перемещений.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов относится к вариационным численным методам, где функционалом является полная потенциальная энергия системы. В настоящее время (после 1980-х годов) для расчёта тонкостенных конструкций и пластин применяют метод конечных элементов. Несмотря на достигнутый прогресс тонкие пластины всё ещё остаются сложной темой для численных расчётов. Хотя сведение полной трёхмерной задачи упругости к двумерной не представляет сложности, а уменьшение размерности должно приводить к существенному выигрышу в производительности, но с понижением размерности увеличивается порядок вариационных уравненийШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Для теории Кирхгофа — Лява (малые прогибы тонких пластин) в функционал потенциальной энергии входят вторые производные функции прогиба, что накладывает дополнительные условия однократной гладкости на вариационные функции. Для таких конформных элементов не возникает проблема сходимости решенияШаблон:Sfn. Второй подход заключается в использовании негладких функций, за счёт усложнения основных уравнений упругости, включающие сдвиги. Для линейного распределения перемещений по толщине такая теория называется теорией Тимошенко — Миндлина. Эта теория испытывает сложности для объяснения случая очень тонких пластин из-за возникновения эффекта запирания или заклинивания Шаблон:Lang-en Шаблон:Sfn. Для решения этой проблемы используется множество методовШаблон:Sfn.

Другие методы

В методе возмущений решается основная система уравнений и искомые функции разлагаются в бесконечные степенные ряды по какому-либо малому параметру. В качестве него удобно выбрать прогиб в какой-то точке. Подставляя эти ряды в основную систему нужно приравнять получившиеся выражения при одинаковых степенях малого параметра. Теперь нужно решить полученные уравнения при соответствующих граничных условияхШаблон:Sfn. В первом порядке уравнения сводятся к линейным уравнениям для жёсткой пластинки. Находя последовательно решения можно получить разложение.

Подобная же идея лежит в основе метода последовательного приближения, где сначала решается линейная система (невозмущённая), а потом решения подставляются в правую часть полных уравнений как известные функции. Приближение строится последовательным повторением этих шаговШаблон:Sfn.

В настоящее время в основном применяются численные методы основывающиеся на конечных разностях Шаблон:Sfn или метод конечных элементов Шаблон:Sfn .

В теории пластичности А. А. Ильюшиным был предложен метод упругих решений. Ильюшин ввёл дополнительную функцию omega для учёта пластических деформаций как отношение разности между напряжением в упругом состоянии и пластическом к напряжению в упругом состоянии. Эта функция при приближении к чисто упругому состоянию равна нулю. Используя эту функцию связь между напряжениями и деформациями приобретает добавку, которая зависит от omega. Получившиеся уравнения нелинейны и для их решения применяется метод последовательных приближений считая задачу упругостиШаблон:Sfn. Биргер И. А. предложил другой итерационный метод решения задач пластичности называемый методом переменных параметров упругости, когда закон Гука переписывается с использованием переменными материальных параметров, которые зависят от координатШаблон:Sfn. Если разбить внешнюю нагрузку на малые части, то получение решение для такой задачи называется методом последовательных нагруженийШаблон:Sfn.

Экспериментальные методы

Для изучения напряжений в больших структурах могут использоваться метод электротензометрии. Тензорезисторы позволяют напрямую измерить деформации на поверхностях тела посредством электрических измерений. Чувствительный элемент изготавливается на подложке, которая приклеивается к исследуемому телу. Для измерений используют потенциометрическую и мостовую схемыШаблон:Sfn. Если изготовить модель из прозрачного материала с оптической анизотропией, то оптическими методами можно визуализировать напряжения в материале в поляризационном свете. Этот метод называется методом фотоупругостиШаблон:Sfn. Существуют также другие оптические методы для получения изображений включающие голографическую интерферометриюШаблон:Sfn, спекл-фотографиюШаблон:Sfn.

Для изучения упругих свойств двухмерных материалов используют иглу атомно-силового микроскопа. Для подвешенных круглых мембран знание кривой сила-смещение позволяет определять модуль Юнга, а при разрушении мембраны также прочность^[7].

Круглые пластины с осесимметричным изгибом

Шаблон:Основная Помимо прямоугольных пластин наибольший интерес представляют круглые пластины, так как уравнения для большого прогиба получаются проще, и поэтому можно найти больше аналитических решений. Так же как и для прямоугольной пластины круглые пластины должны быть сплошными с известным способом закрепления по краю. В случае осесимметричной внешней нагрузки уравнения равновесия и совместности напряжений можно вывести либо из геометрических соображений или при переходе из декартовой системы координат в цилиндрическую. Ось z направлена по вертикали проходящей через центр круга. Также координаты r и <math>\phi</math> вводят обычным образом как радиус и полярный угол. Для осесимметричной нагрузки и для изотропной пластины в основных уравнениях не появляется зависимость от полярного угла, поэтому прогиб зависит только от радиусаШаблон:Sfn. Для круглой пластины можно составить три уравнения, равновесия используя полные дифференциалыШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула которое используются, чтобы ввести функцию напряжений по формуламШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Уравнение совместности деформаций для круглой пластины имеет видШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Уравнение для моментов принимает вид Шаблон:Нумерованная формула{r}=-Q\,</math>|Ур. 8.4}} где для поперечной силы Q можно записать следующее уравнение равновесие Шаблон:Нумерованная формула где <math>\theta</math> — угол отсчитанный от оси z. Он определяется соотношениемШаблон:Sfn <math>\tan\theta=\frac{dw}{dr}\,.</math> <math>\Psi</math> — функция нагрузкиШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула а q — интенсивность нагрузки. Напряжения в срединной плоскости определяются соотношениями Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула Выражения для моментов круглой пластины запишутся в видеШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Шаблон:Нумерованная формула которые можно подставить в уравнение равновесия для моментов, чтобы получить первое уравнение для больших прогибов круглых пластин с осесимметричной нагрузкой в виде Шаблон:Нумерованная формула из уравнения совместности деформаций можно получить второе уравнениеШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула Функция напряжений, в эту систему нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, входит как первая производная в оба уравнения. Тогда количество граничных условий можно сократить с шести до пяти.

Круглые пластины с начальным изгибом при осесимметричной внешней нагрузке

Уравнения для круглой пластинки при присутствии начального изгиба записываются в видеШаблон:Sfn

<math>D\frac{d}{dr}\left(\nabla^2w\right)=\Psi+\frac{h}{r}\frac{dF}{dr}\left(\frac{dw}{dr}+\frac{dw_0}{dr}\right)\,,</math>

<math>\frac{d}{dr}\left(\nabla^2F\right)=-\frac{E}{r}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{dw}{dr}\right)^2+\frac{dw_0}{dr}\frac{dw}{dr}\right]\,.</math>

Вариационные уравнения для круглых пластин

Для вывода вариационных уравнений для круглых пластин рассматривают осесимметричную нагрузку и предполагают, что в точках контура пластинка закреплена, то есть нет перемещений, тогда <math>\delta u=0|_{r=a}</math>. Также можно применить условия на изгибающие моменты на границе <math>M_r=0|_{r=a}</math>. Тогда для принципа возможных перемещений получают выражениеШаблон:Sfn Шаблон:Нумерованная формула В методе Бубнова — Галёркина функцию прогиба представляют в виде ряда Шаблон:Нумерованная формула Подставление этого ряда в вышестоящее вариационное уравнение приводит к системе уравнений вида Шаблон:Нумерованная формула где X равно Шаблон:Нумерованная формула Выражение для круглой пластины с начальным изгибом первая производная прогиба по r заменяется на первую производную по r от суммы w+w₀.

Примеры

Малые прогибы круглой равномерно нагруженной пластины закреплённой по контуру

Для малых прогибов решение уравнения 8.11 для равномерно нагруженной тонкой пластинки можно получить в общем видеШаблон:Sfn. Правая часть уравнения 8.11 будет содержать только вклад от внешней силы (qr/2), но не от прогиба. Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка можно последовательно проинтегрировать получив общий вид решения для малых прогибов w_s0Шаблон:Sfn:

Шаблон:Нумерованная формула+C_3\,,</math>|Ур. 9.1}} где a — радиус пластинки, а три неизвестные константы C_i интегрирования должны быть определены из граничных условий. Если круглая пластинка защемлена по контуру, то первая производная (наклон) прогиба должна обращаться в ноль в центре и на краях пластины. C₂ сразу даёт 0, так как первая производная логарифма в нуле расходится. C₁ определяется из наклона прогиба при r=a, а C₃ из w_s0=0 при r=a. Тогда решение примет видШаблон:Sfn

Шаблон:Нумерованная формула Также доступно решение той же задачи для более точной теории с учётом касательных напряженийШаблон:Sfn

<math>w_s=\frac{qa^4}{64D}\left[(a^2-r^2)^2+\frac{4h^2}{1-\nu}(a^2-r^2)\right]\,.</math>

Большие прогибы круглой равномерно нагруженной пластины закреплённой по контуру

Для больших прогибов решение основной системы можно искать с помощью вариационных методов. В качестве пробной функции можно взять w_s0 из предыдущего параграфа. Подставляя эту функцию в уравнение для деформаций (8.12), получают ОДУ для функции напряженийШаблон:Sfn

<math>\frac{d\nabla^2F}{dr}=-\frac{8Ef^2}{a^2r}\left(\frac{r}{a}-\frac{r^3}{a^3}\right)</math>

Это уравнение можно проинтегрировать дважды, чтобы получить выражение для первой производной функции напряжения в видеШаблон:Sfn

<math>\frac{dF}{dr}=-\frac{2Ef^2}{a}\left(\frac{r^3}{2a^3}-\frac{r^5}{3r^5}+\frac{r^7}{12a^7}\right)+C_1\frac{r}{2}+\frac{C_2}{r}\,,</math>

где C₂=0 из-за симметрии и конечности производной в нуле. Отсутствие радиального смещения контура эквивалентно следующему граничному условиюШаблон:Sfn

<math>\left(\frac{d^2F}{dr^2}-\frac{\mu}{r}\frac{dF}{dr}\right)_{r=a}=0\,,</math>

которое позволяет определить первую переменную интегрирования какШаблон:Sfn

Тогда первая производная функции напряжений известна и можно составить вариационное уравнение Бубнова — Галёркина

<math>\int_0^1\left[32Df\rho-\frac{q\rho a^4}{2}+\frac{2hEf^3}{3\rho}\left(\frac{5-3\mu}{1-\mu}\rho-6\rho^3+4\rho^5-\rho^7\right)(\rho-\rho^3)\right](\rho-\rho^3)\rho d\rho=0\,,</math>

где введена безразмерная переменная <math>\rho=r/a</math>. После взятия интеграла получают выражение связывающее прогибы f и внешнюю нагрузку qШаблон:Sfn Шаблон:Sfn

<math>\frac{2}{21}\frac{23-9\mu}{1-\mu}\left(\frac{f}{h}\right)^3+\frac{16}{3(1-\mu^2)}\frac{f}{h}=\frac{q}{E}\left(\frac{a}{h}\right)^4</math>

Хлопающая мембрана

Представляет интерес случай равномерной нагрузки закреплённой по контуру круглой пластинки с начальным прогибом. В качестве начального прогиба удобно взять решение для больших прогибов с фиксированной стрелой прогиба (максимальным прогибом при отсутствии внешней нагрузки) w₀.

<math>w_0=f_0\left(1-r^2/a^2\right)^2\,,</math>

а пробную функцию в том же виде заданным уравнением (9.2). Для уравнения совместности деформаций с начальным прогибом можно получить уравнение

<math>\frac{d\nabla^2F}{dr}=-\frac{8E}{a^3}(f^2+2f_0f)\left(\frac{r}{a}-2\frac{r^3}{a^3}+\frac{r^5}{a^5}\right)\,.</math>

Интегрированием этого уравнения можно получить первую производную от функции напряженияШаблон:Sfn:

<math>\frac{dF}{dr}=\frac{E(f^2+2f_0f)}{6a}\left(3\frac{r}{a}-6\frac{r^3}{a^3}+4\frac{r^5}{a^5}-\frac{r^7}{a^7}\right)\,.</math>

Уравнение Бубнова — Галёркина примет вид определённого интеграла (здесь аналогично <math>\rho=r/a</math>):

<math>\int_0^1\left[32Df\rho-\frac{1}{2}q\rho a^4-\frac{2h}{3\rho}\left(f^3+3f^2f_0+2ff_0^2\right)\left(3\rho-6\rho^3+4\rho^5-\rho^7\right)(\rho-\rho^3)\right](\rho-rho^3)\rho d\rho=0\,.</math>

После интегрирования приходят к выражениюШаблон:Sfn:

Здесь следует рассмотреть два случая ориентации начального прогиба: когда внешняя сила направлена по направлению начального прогиба, тогда прогибы складываются и решение монотонно; и когда против — тогда начальный прогиб нужно взять с отрицательным знаком. Соответственно интерес представляет решение задачи при наличии отрицательного знака, который приводит к возникновению хлопающего эффекта при достаточно большом отрицательном прогибе. На зависимости стрелы прогиба от приложенной внешней нагрузки сначала появляется линейный участок, который возникает при равенстве первой производной приложенной силы от стрелы прогиба, а при увеличении отрицательного начального прогиба наблюдаются два экстремума: максимум и минимум, а между ними существует несколько значений для стрелы прогиба при одном значением внешней силыШаблон:Sfn.

Пластические деформации круглых пластин

Деформации делят на упругие и пластические, которые остаются при снятии внешней нагрузки. Соответственно, тела, которые способны выдерживать достаточно большие пластические деформации при сохранении непрерывности тела называют пластическими в отличие от хрупких тел, которые образуют разрывы связей даже при малых остаточных деформациях. На диаграмме растяжений (зависимость напряжения от деформации) можно выделить предел упругости тела <math>\sigma_e</math>, до которого тело сохраняет упругие свойства и предел прочности, при котором в теле формируются разрывы. Между ними находится точка предела текучести, которая характеризуется потерей упругости, но не потерей сплошности тела. Свойства пластического тела за пределом пластичности зависят от многих часто неизвестных факторовШаблон:Sfn. Теории пластичности разделяют на два вида по постановке. А именно, если напряжения связаны с деформациями, то теория называется теорией упругопластических деформаций, а в случае зависимости напряжения от скорости деформаций теория называется теорией пластических течений Шаблон:Sfn, которая, вообще говоря, имеет динамическую природу и соответственно основные физические (напряжения, деформации и их производные) величины имеют временные зависимости. Для малых деформаций эти теории дают одинаковые результаты, но применяют их в зависимости от пластических свойств исследуемых материалов. Существуют некоторые критерии перехода из упругого в пластическое состояние, общие для обоих теорий. Эти условия называют условиями текучести. В качестве допущения используется идея о связи состояния текучести и главных нормальных напряжений тела, которые не зависят от предыстории нагружения в упругом состоянии, то есть

<math>f(\sigma_i)=0</math>

В трёхмерном пространстве это выражение задаёт поверхность. Условие перехода к пластическому состоянию при достижении простого сдвига <math>\tau_s</math> или простого растяжения <math>\sigma_s</math> задаётся поверхностью текучести Шаблон:Sfn. Полную деформацию при превышении предела текучести рассматривают как сумму упругой и пластической частей.

В. В. Соколовский впервые рассмотрел упругопластическую деформацию круглых пластин под действием осесимметричной круговой нагрузки в 1944 году. Основываясь на критериях текучести Мизеса он исследовал возникновение пластических зон в тонких пластинках и установил предельную пластическую нагрузку, при которой в центе пластины возникает чисто пластическое состояниеШаблон:Sfn. Он также определил критическую нагрузку при которой достигается предел текучести в крайних волокнах в центре пластины. При исследовании прогиба использовал численный расчёт. Оказалось, что пластическая деформация качественно отличается от таковой в одномерном случае, где возможно появление пластических шарниров — областей с концентрированными пластическими деформациямиШаблон:Sfn. Аналитические решения в получили Охаши Ю. и др. для больших прогибов защемлённой круглой пластины при равномерной кольцевой нагрузке с учётом упругопластических деформацийШаблон:Sfn.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:ВС Шаблон:Хорошая статья

[1] Шаблон:Статья

[2] Шаблон:Статья

[3] Шаблон:Статья

[4] Шаблон:Статья

[5] Шаблон:Статья

[6] Шаблон:Статья

[7] Шаблон:Статья

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.