Русская Википедия:Теория представлений группы Галилея

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теория представлений группы Галилея — в нерелятивистской квантовой механике раскрывает глубокую роль массы и спина в свойствах группы симметрий пространства-времени. В релятивистской механике аналогичную роль играет классификация Вигнера.

Определение

В четырёхмерном пространстве-времени Шаблон:Math (и, при очевидном обобщении, в пространстве-времени произвольной размерности Шаблон:Math) представление группы Галилея является представлением подгруппы Шаблон:Не переведено 5 (на пространстве-времени Шаблон:Math), линейная часть которой оставляет инвариантной как метрику <math>g_{\mu \nu} = diag(1, 0, 0, 0)</math> (инвариантность временных интервалов относительно преобразований Галилея) так и (независимо) дуальную метрику <math>g_{\mu \nu} = diag(0, 1, 1, 1)</math> (инвариантность пространственных интервалов относительно преобразований Галилея).

Проективные представления

В этой статье рассматриваются проективные представления этой группы, которые эквивалентны Шаблон:Не переведено 5 нетривиального центрального расширения универсальной покрывающей группы группы Галилея одномерной группой Ли Шаблон:Math (см. статью Галилеева группа для Шаблон:Не переведено 5 ее алгебры Ли). Для их изучения используется метод Шаблон:Не переведено 5.

Здесь рассматривается (центрально расширенная, Баргман) алгебра Ли, потому что ее проще анализировать, и мы всегда можем распространить результаты на полную группу Ли при помощи Шаблон:Не переведено 5.

<math>[E,P_i]=0</math>
<math>[P_i,P_j]=0</math>
<math>[L_{ij},E]=0</math>
<math>[C_i,C_j]=0</math>
<math>[L_{ij},L_{kl}]=i\hbar [\delta_{ik}L_{jl}-\delta_{il}L_{jk}-\delta_{jk}L_{il}+\delta_{jl}L_{ik}]</math>
<math>[L_{ij},P_k]=i\hbar[\delta_{ik}P_j-\delta_{jk}P_i]</math>
<math>[L_{ij},C_k]=i\hbar[\delta_{ik}C_j-\delta_{jk}C_i]</math>
<math>[C_i,E]=i\hbar P_i</math>
<math>[C_i,P_j]=i\hbar M\delta_{ij} ~. </math>

Здесь: Шаблон:Mvar — генератор временных перемещений (гамильтониан), Pi — это генератор перемещений (оператор импульса), Ci — генератор галилеевых бустов, а Lij — генератор вращений (оператор углового момента). Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Mvar является инвариантом Казимира.

Инвариант массовой поверхности

<math>ME-{P^2\over 2}</math>

является дополнительным инвариантом Казимира.

В случае четырёхмерного пространства-времени Шаблон:Math третьим инвариантом Казимира является Шаблон:Math, где

<math>\vec{W} \equiv M \vec{L} + \vec{P}\times\vec{C} ~,</math>

до некоторой степени аналогичный Шаблон:Не переведено 5 релятивистской механики.

В более общем случае n-мерного пространства-времени Шаблон:Math инварианты будут зависеть от

<math>W_{ij} = M L_{ij} + P_i C_j - P_j C_i</math>

и

<math>W_{ijk} = P_i L_{jk} + P_j L_{ki} + P_k L_{ij}~,</math>

а также от вышеуказанного инварианта массовой оболочки и центрального заряда.

Используя лемму Шура, в неприводимом унитарном представлении, можно показать, что все эти инварианты Казимира тождественно кратны. Назовем коэффициенты кратности Шаблон:Mvar и Шаблон:Math и (в случае четырёхмерного пространства-времени Шаблон:Math) Шаблон:Mvar, соответственно. Вспоминая, что мы рассматриваем здесь унитарные представления, мы видим, что эти собственные значения должны быть вещественными числами.

Классификация по массе

Рассмотрим случаи Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math (последний случай похож на первый). В случае четырёхмерного пространства-времени Шаблон:Math когда инвариант в Шаблон:Math, для третьего инварианта мы можем написать, Шаблон:Math, где Шаблон:Mvar представляет собой спин или внутренний угловой импульс. В более общем случае n-мерного пространства-времени Шаблон:Math генераторы Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar будут связаны, соответственно, с общим моментом импульса и моментом центра масс, как

<math>W_{ij} = M S_{ij}</math>
<math>L_{ij} = S_{ij} + X_i P_j - X_j P_i</math>
<math>C_i = M X_i - P_i t ~.</math>

С чисто теоретической точки зрения нужно было бы изучить все представления; но в этой статье нас интересуют только приложения к квантовой механике. Там Шаблон:Mvar представляет энергию, которая должна быть ограничена снизу из соображений термодинамической стабильности. Рассмотрим сначала случай, когда Шаблон:Mvar не равно нулю.

В пространстве (Шаблон:Mvar, <math>\vec{P}</math>) рассмотрим гиперповерхность, задаваемую уравнением

<math>mE=mE_0+{P^2 \over 2}~,</math>

мы видим, что галилеевы бусты действуют транзитивно на этой гиперповерхности. Фактически, рассматривая энергию Шаблон:Mvar как гамильтониан, дифференцируя по Шаблон:Mvar и применяя уравнения Гамильтона, мы получаем соотношение между массой и скоростью <math>m \vec{v} = \vec{P}</math>.

Гиперповерхность параметризуется этой скоростью In <math>\vec{v}</math>. Рассмотрим стабилизатор точки на орбите (Шаблон:Math), где скорость равна Шаблон:Math. Из-за транзитивности мы знаем, что унитарное неприводимое представление содержит нетривиальное линейное подпространство с этими собственными значениями энергии-импульса. (Это подпространство существует только во Шаблон:Не переведено 5, потому что спектр импульса непрерывен.)

Подпространство охватывает Шаблон:Mvar, <math>\vec{P}</math>, Шаблон:Mvar и Шаблон:Math. Мы уже знаем, как подпространство неприводимых представлений преобразуется при всех операторах, кроме углового момента. Обратите внимание, что подгруппа вращения — это Spin(3). Мы должны рассматривать её Шаблон:Не переведено 5, потому что мы рассматриваем проективные представления. Она называется малой группой, по имени, данному Юджином Вигнером. Его Шаблон:Не переведено 5 указывает, что неприводимое представление задается прямой суммой всех волокон в векторном расслоении над гиперповерхностью Шаблон:Math волокна которой представляют собой унитарное неприводимое представление Шаблон:Math.

Шаблон:Math — это не что иное, как Шаблон:Math. (См. Шаблон:Не переведено 5, где показано, что унитарные неприводимые представления Шаблон:Math различаются неотрицательным рациональным числом Шаблон:Mvar, кратным половине. По историческим причинам это число было названо спином.)

  • Следовательно, для <math>m \neq 0</math> унитарные неприводимые представления классифицируются по массе Шаблон:Mvar, энергии Шаблон:Math и спину Шаблон:Mvar.
  • Если масса Шаблон:Mvar отрицательна, то спектр энергий Шаблон:Mvar не ограничен снизу. Следовательно, только случай с положительной массой является допустимым по физическим соображениям.
  • Теперь рассмотрим случай, Шаблон:Math. Вследствие унитарности, выражение :<math>mE-{P^2 \over 2}={-P^2 \over 2}</math> является неположительным. Предположим, что оно равна нулю. Здесь это также бусты, а также ротации, которые составляют малую группу. Любое унитарное неприводимое представление этой малой группы также порождает проективное неприводимое представление галилеевой группы. По-видимому, только случай тривиального преобразования в рамках малой группы имеет физическую интерпретацию — он соответствует состоянию без частиц, Шаблон:Не переведено 5.

Случай, когда инвариант отрицателен, требует дополнительного комментария. Это соответствует классу представления для Шаблон:Mvar = 0 и ненулевого <math>\vec{P}</math>. Расширяя классификацию тардиона, люксона,тахиона от теории представлений группы Пуанкаре до аналогичной классификации, здесь можно назвать эти состояния синхронами. Они представляют собой мгновенную передачу ненулевого импульса на (возможно, большое) расстояние. С ними связан, по вышесказанному, «временной» оператор

<math>t=-{\vec{P}\cdot \vec{C} \over P^2} ~,</math>

который может быть идентифицирован со временем передачи. Эти состояния, естественно, интерпретируются как носители сил мгновенного действия на расстоянии.

В Шаблон:Math — мерной группе Галилея генератор буста может быть разложен на

<math>\vec{C} = {\vec{W}\times\vec{P} \over P^2} - \vec{P}t~,</math>

с <math>\vec{W}</math> играющим роль, аналогичную спиральности.

См. также

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теория_представлений_группы_Галилея&oldid=10920719