Русская Википедия:Теория представлений группы Лоренца

Хендрик Антон Лоренц (справа), именем которого названа группа Лоренца, и Альберт Эйнштейн, специальная теория относительности которого является главным приложением группы Лоренца. Фотография сделана Паулем Эренфестом в 1921.

Группа Лоренца является группой Ли симметрий пространства-времени в специальной теории относительности. Эта группа может быть реализована как набор матриц, линейных преобразований или унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве. Группа имеет различные представления. В любой релятивистски инвариантной физической теории эти представления как-то должны быть отражены^{[nb 1]}. Сама физика должна быть сделана на их основе. Более того, специальная теория относительности вместе с квантовой механикой являются двумя физическими теориями, которые тщательно проверены^{[nb 2]} и объединение этих двух теорий сводится к изучению бесконечномерных унитарных представлений группы Лоренца. Это имеет как историческую важность в основном течении в теоретической физике, так и связи с более спекулятивными теориями настоящего времени.

Полная теория конечномерных представлений алгебры Ли группы Лоренца выводится с использованием общих рамок теории представлений полупростых алгебр Ли. Конечномерные представления связной компоненты <math>\text{SO}(3; 1)^+</math> полной группы Лоренца Шаблон:Math получаются путём использования Шаблон:Не переведено 5 и экспоненты матрицы. Полная теория конечномерных представлений Шаблон:Не переведено 5 (а также спинорной группы, двойное покрытие) <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> компоненты <math>\text{SO}(3; 1)^+</math> получается, и явно задаётся в терминах действия на пространстве функций на представлениях групп <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> и <math>\mathfrak{sl}(2,\Complex)</math>. Представления обращения времени и инверсии пространства даны в разделе «Инверсия пространства и обращение времени», завершая конечномерную теорию для полной группы Лоренца. Кратко изложены общие свойства представлений (m, n). Рассматривается действие на пространствах функций с действиями на сферических гармониках и P-символах Римана в качестве примеров. Бесконечномерный случай неприводимых унитарных представлений конкретизирован для <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> главной серии и Шаблон:Не переведено 5. Наконец, дана формула Планшереля для <math>\text{SL}(2,\Complex)</math> и представления группы Шаблон:Math классифицированы и реализованы для алгебр Ли.

За разработкой теории представлений последовала разработка более общей теории представлений полупростых групп, в основном благодаря Эли Жозефу Картану и Герману Вейлю, но группа Лоренца получила особое внимание ввиду важности в физике. Существенный вклад в теорию для групп Лоренца внесли физик Юджин Вигнер и математик Валентин Баргман с их программой Баргмана — Вигнера Шаблон:Sfn, одно из заключений которой, грубо говоря, классификация всех унитарных представлений неоднородной группы Лоренца сводится к классификации всех возможных релятивистских уравненийШаблон:Sfn. Классификацию неприводимых бесконечномерных представлений группы Лоренца установил PhD-кандидат Поля Дирака в теоретической физике Хариш-Чандра, позднее ставший математиком^{[nb 3]} в 1947. Соответствующая классификация для группы <math>\mathrm{SL}(2, \mathbb C)</math> была опубликована независимо Баргманом и Израилем Моисеевичем Гельфандом вместе с Марком Ароновичем Наймарком в том же году^[1].

Неформальное введение содержит некоторые предварительные требования к читателю, не знакомому с теорией представлений. Стандартные результаты, использованные здесь из общей теории конечномерных представлений, очерчены в разделе «Введение в теорию конечномерных представлений». Базис алгебры Ли и другие соглашения представлены в разделе «Соглашения и базисы алгебры Ли».

Неформальное введение в теорию представлений

Цель данного раздела — проиллюстрировать роль теории представлений групп в математике и физике. Строгость и детали уходят на второй план, поскольку главная установка — зафиксировать понятие конечномерных и бесконечномерных представлений группы Лоренца. Читатели, знакомые с этими концепциями, могут пропустить этот раздел. Шаблон:Hidden begin

Симметрия пространства и времени

Шаблон:Основная статья

Файл:Sphere wireframe 10deg 6r.svg

Сфера, максимально симметричный объект.

Пространство само по себе обладает симметрией. Оно выглядит одинаково, как бы вы не вращали его, и вращательная симметрия рассматривается как изотропия пространства. В данном случае обычно используются Шаблон:Не переведено 5, что означает, что наблюдатель^{[nb 4]} вращается сам. Математически, активная операция вращения осуществляется путём умножения радиус-векторов на матрицу поворота. Шаблон:Не переведено 5 выполняется только путём вращения базисных векторов координатной системы (координатную систему можно считать закреплённой к вращающемуся наблюдателю, физически вращается наблюдатель). Таким образом, любая точка пространства получает новые координаты, как будто бы вращалось пространство.

Группа Лоренца содержит все матрицы вращения, продолженные на четвёртое измерение, с нулями в первой строке и первом столбце, за исключением верхнего левого элемента, который равен единице.

Имеются, кроме того, матрицы, которые выполняют лоренцевские бусты (пространственно-временные вращения). Их можно рассматривать, при пассивном наблюдении, как (постоянно!) задающие скорость координатной системы (а с нею и наблюдателя) в выбранном направлении.

Наконец, используются два специальных преобразования для обращения координатной системы в пространстве — инверсия пространства, а во времени — обращение времени. В первом случае обращаются пространственные оси координат. Во втором случае обращается направление времени. Это можно рассматривать при пассивном наблюдении как установка наблюдателем хода часов назад, так что часы идут против обычного хода часовой стрелки. Физическое время идёт вперёд.

Математически группа Лоренца определяется как множество преобразований, сохраняющих билинейную форму

в которой левая сторона является скалярным произведением Минковского двух событий в пространстве-времени, а правая сторона является пространственно-временным интервалом, см. статью Шаблон:Не переведено 5 для математических деталей.

Преобразования Лоренца

Шаблон:Основная статья В пространстве-времени специальной теории относительности, которое называется пространством Минковского, пространство и время переплетаются. Тогда четыре координаты точек в пространстве-времени, называемые событиями, меняются неожиданным (до появления специальной теории относительности) образом с замедлением времени и сокращением длины как два немедленных следствия. Четырёхмерные матрицы преобразований Лоренца составляют группу Лоренца. Её элементы представляют симметрии и, подобно физическим объектам, могут вращаться с помощью матриц вращения, физические объекты (координаты которых теперь включают координату времени) могут быть преобразованы с помощью матриц, представляющих преобразования Лоренца. В частности, 4-вектор, представляющий событие в системе отсчёта Лоренца преобразуется как

<math> x' = \begin{bmatrix} x'^0 \\ x'^1 \\ x'^2 \\ x'^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_{00}&\lambda_{01}&\lambda_{02}&\lambda_{03}\\ \lambda_{10}& \lambda_{11}& \lambda_{12}& \lambda_{13} \\ \lambda_{20}&\lambda_{21}&\lambda_{22}&\lambda_{23} \\ \lambda_{30}&\lambda_{31}&\lambda_{32}&\lambda_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{bmatrix},</math>

или в краткой форме

<math>x' = \Lambda x.</math>

Таблица умножения и представления

Шаблон:Основная статья Основная особенность любой конечной группы — её таблица умножения, называемая также таблицей Кэли, в которой записаны результаты умножения двух элементов. Представление группы можно рассматривать как новый набор элементов, конечномерных и бесконечномерных матриц, дающих ту же таблицу произведений после отображения старых элементов в новые взаимнооднозначно^{[nb 5]}. То же самое верно в случае бесконечных групп, таких как группа вращений SO(3) группы Лоренца. Таблицу умножения труднее изобразить визуально в случае группы несчётного размера (размера множества вещественных чисел). Один из путей сделать это — вполне упорядочить элементы группы с ординальным числом Шаблон:Mvar являющимся Шаблон:Не переведено 5. «Бесконечная таблица Кэли» тогда индексируется двумя ординалами <math>0 \leqslant \alpha, \beta \leqslant \rho</math>, записанными в Шаблон:Не переведено 5.

Обычного матричного преобразования Лоренца недостаточно

Файл:Lorentz boost electric charge.svg

Лоренцевский буст электрического заряда, заряд покоится в одной системе отсчёта или в другой.

Преобразуемые объекты могут отличаться от обычных физических объектов, распростёртых в трёх пространственных измерениях (и времени, если система отсчёта не покоится). Для этих объектов нужна теория представлений для математического описания преобразований, индуцированных обычными преобразованиями Лоренца пространства-времени. Например, электромагнитное поле часто (наивно) представляется путём назначения каждой точке пространства-времени трёхмерного вектора, представляющего электрическое поле, и другого трёхмерного вектора, представляющего магнитное поле.

Когда пространство вращается, происходят классически ожидаемые вещи. Вектора электрического и магнитного полей в обозначенной точке вращаются с сохранением длины и угла между векторами.

При лоренцевских бустах они ведут себя по-другому, показывая, что эти два вектора не являются отдельными физическими объектами. Электрические и магнитные компоненты смешиваются. См. рисунок справа. Тензор электромагнитного поля показывает явно ковариантную математическую структуру электромагнитного поля. Она имеет шесть независимых компонент в событии^{[nb 6]}.

Конечномерное представление матрицами

Задачей представления группы Лоренца является, в конечномерном случае, поиск нового набора матриц, не обязательно размера Шаблон:Math, которые бы удовлетворяли той же таблице умножения, что и матрицы в оригинальной группе Лоренца. Возвращаясь к примеру электромагнитного поля, определяем, что нужны Шаблон:Math матрицы, которые можно применить к шестимерным векторам, содержащим все шесть компонент электромагнитного поля. Таким образом, ищутся матрицы Шаблон:Math, такие, что

<math> F' = \begin{bmatrix} E'^1 \\ E'^2 \\ E'^3 \\ B'^1 \\ B'^2 \\ B'^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \Pi(\Lambda)_{00}&\Pi(\Lambda)_{01}&\Pi(\Lambda)_{02}&\Pi(\Lambda)_{03}&\Pi(\Lambda)_{04}&\Pi(\Lambda)_{05}\\ \Pi(\Lambda)_{10}&\Pi(\Lambda)_{11}&\Pi(\Lambda)_{12}&\Pi(\Lambda)_{13}&\Pi(\Lambda)_{14}&\Pi(\Lambda)_{15} \\ \Pi(\Lambda)_{20}&\Pi(\Lambda)_{21}&\Pi(\Lambda)_{22}&\Pi(\Lambda)_{23}&\Pi(\Lambda)_{24}&\Pi(\Lambda)_{25} \\ \Pi(\Lambda)_{30}&\Pi(\Lambda)_{31}&\Pi(\Lambda)_{32}&\Pi(\Lambda)_{33}&\Pi(\Lambda)_{34}&\Pi(\Lambda)_{35} \\ \Pi(\Lambda)_{40}&\Pi(\Lambda)_{41}&\Pi(\Lambda)_{42}&\Pi(\Lambda)_{43}&\Pi(\Lambda)_{44}&\Pi(\Lambda)_{45} \\ \Pi(\Lambda)_{50}&\Pi(\Lambda)_{51}&\Pi(\Lambda)_{52}&\Pi(\Lambda)_{53}&\Pi(\Lambda)_{54}&\Pi(\Lambda)_{55} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E^1 \\ E^2 \\ E^3 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{bmatrix},</math>

или в краткой форме

<math>F' = \Pi(\Lambda)F,</math>

корректно выражают преобразование электромагнитного поля при преобразовании Лоренца Шаблон:Math^{[nb 7]} Те же рассуждения можно применить к биспинорам Дирака. Поскольку они имеют Шаблон:Math-компоненты, исходные Шаблон:Math-матрицы в группе Лоренца непригодны, даже если ограничиться вращениями. Необходимо другое Шаблон:Math-представление.

Раздел, посвящённый конечномерным представлениям, предназначен для показа всех таких представлений с помощью конечномерных матриц, подчиняющихся правилам в таблице умножения.

Бесконечномерные представления действиями на векторных пространствах функций

Бесконечномерные представления обычно реализуются как действующие на множестве вещественных или комплексных функций на множестве Шаблон:Mvar, согласующиеся с действием группы. «Множество согласуется с a действием группы» Шаблон:Mvar означает, по сути, что если <math>x \in X</math> и <math>g \in G</math>, то <math>A(g)x = y</math> с <math>y \in X</math>. Если <math>\Complex^X</math> означает множество всех комплексных функций от Шаблон:Mvar, которое является векторным пространством, представление Шаблон:Mvar группы Шаблон:Mvar может быть определено согласно РосмануШаблон:Sfn как

<math>(\Pi(g))f(x) = f(A(g^{-1})x),\quad f \in \Complex^{X}, g \in G, x\in X.</math>

Следует подчеркнуть, что снова

<math>(\Pi(g))f\in \Complex^{X}.</math>

является представлением группы Шаблон:Mvar. Это представление группы Шаблон:Mvar конечномерно тогда и только тогда, когда Шаблон:Mvar является конечным множеством. Этот метод является очень общим, и обычно используются векторные пространства более специализированных функций на множествах, находящихся под рукой. Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим группу Шаблон:Mvar Шаблон:Math-мерных матриц как подмножество евклидового пространства <math>\R^{n^2}</math> и пространство многочленов, той же максимальной степени Шаблон:Mvar или даже однородных многочленов степени Шаблон:Mvar, определённых на <math>\R^{n^2}</math>. Эти многочлены (как функции) ограничены на <math>G \subset \R^{n^2}</math>. Множество <math>X = G</math> автоматически получается оснащённым действиями группы, а именно

Здесь <math>L_g</math> означает левое действие (с помощью Шаблон:Mvar), <math>R_g</math> означает правое действие (с помощью Шаблон:Mvar), а <math>C_g</math> означает сопряжение (с помощью Шаблон:Mvar). При этих действиях действующие вектора являются функциями. Получающиеся представления являются (если функции не ограничены) в первом и во втором случаях соответственно Шаблон:Не переведено 5 и правым регулярным представлением группы Шаблон:Mvar на <math>\Complex^G.</math>Шаблон:Sfn.

Целью теории представлений в бесконечномерном случае является классификация всех различных возможных представлений и выражения их в терминах векторных пространств функций и действий стандартных представлений на аргументы функций.

Бесконечномерные представления как бесконечномерные матрицы

Для того, чтобы связать представления на бесконечномерных пространствах с конечномерными случаями, выбирается упорядоченный базис для векторного пространства функций и исследуются действия на базисных функциях при заданных преобразованиях. Выписывается образ базисных функций при преобразовании, выраженный как линейная комбинация базисных функций. Конкретно, если Шаблон:Math является базисом, вычисляем

<math>\begin{align}

\Pi(\Lambda)f_1 & = \lambda_{11}f_1 + \lambda_{21}f_2 + \cdots,\\ \Pi(\Lambda)f_2 & = \lambda_{12}f_1 + \lambda_{22}f_2 + \cdots,\\ & \,\,\, \vdots \end{align}</math>

Коэффициенты при базисных функциях в выражении для каждого преобразования базисной функции является столбцом в матрице представления. Обычно получающаяся матрица имеет счётную бесконечную размерность^{[nb 8]}.

<math> \Pi(\Lambda) = \begin{bmatrix}\lambda_{11}&\lambda_{12}&\cdots \\ \lambda_{21}&\lambda_{22}&\cdots \\ \vdots & \vdots &\ddots \end{bmatrix}</math>

Снова требуется, чтобы множество бесконечных матриц, полученных таким образом, находилось во взаимнооднозначном соответствии с исходными Шаблон:Math-матрицами и чтобы таблица умножения соответствовала таблице умножения Шаблон:Math-матриц.^{[nb 9]} Следует подчеркнуть, что в бесконечномерном случае редко интересуются всей матрицей полностью. Они показаны здесь, только чтобы подчеркнуть общие черты. Но индивидуальные матричные элементы часто вычисляются, особенно для алгебр Ли (ниже).

Алгебра Ли

Шаблон:Основная статья Группа Лоренца является группой Ли и, будучи таковой, имеет алгебру Ли, Алгебра Ли является векторным пространством матриц, которые могут считаться моделью группы вблизи тожественного элемента. Алгебра наделена операцией умножения, скобкой Ли. С этой операцией произведение в группе вблизи тождественного элемента может быть выражено терминах алгебр Ли (но не очень просто). Связью между (матричной) алгеброй Ли и (матричной) группой Ли служит экспонента матрицы. Эта связь взаимнооднозначна вблизи тождественного элемента группы.

Вследствие этого часто достаточно найти представления алгебры Ли. Алгебры Ли являются существенно более простыми объектами для работы, чем группы Ли. Вследствие того факта, что алгебра Ли является конечномерным векторным пространством, в случае лоренцевой алгебры Ли размерность равна Шаблон:Math и нужно найти лишь конечное число представляющих матриц алгебры Ли, по одной для каждого элемента базиса алгебры Ли как векторного пространства. Остальное следует из линейности, а представление группы получается путём возведения в степень.

Один из возможных выборов базиса для алгебры Ли в стандартном представлении дан в разделе «Соглашения и базисы алгебры Ли». Шаблон:Hidden end

Приложения

Многие из представлений, как конечномерные, так и бесконечномерные, важны в теоретической физике. Представления возникают при описании полей в классической теории поля и, наиболее важно, в теории электромагнитного поля и частиц в релятивистской квантовой механике, а также как частиц и квантовых полей в квантовой теории поля и различных объектов в теории струн. Теория представлений даёт также теоретическую основу для понятия спина. Теория представлений входит также в общую теорию относительности в том смысле, что в достаточно малых областях пространства-времени, физика является представлением специальной теории относительностиШаблон:Sfn.

Конечномерные неприводимые неунитарные представления вместе с неприводимыми бесконечномерными унитарными представлениями неоднородной группы Лоренца, группы Пуанкаре, являются представлениями, имеющими прямую физическую значимостьШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца появляются при ограничении неприводимых бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, действующей на гильбертовых пространствах релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля. Но они представляют также математический интерес и потенциальную прямую физическую значимость в другой роли, не просто как ограниченияШаблон:Sfn. Имелись спекулятивные теории Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn (тензоры и спиноры имеют бесконечные дубликаты в экпансорах Дирака и экспинорах Хариша-Чандры), согласующиеся с релятивистской и квантовой механикой, но они не нашли доказанного физического применения. Современные спекулятивные теории потенциально имеют те же ингредиенты.

Математика

Если смотреть с точки зрения математики, целью которой является классификация и описание, то теория представлений группы Лоренца с 1947 является пройденной главой. Но в связи с программой Баргмана – Вигнера, имеются (к 2006 году) нерешённые чисто математические проблемы, связанные с бесконечномерными унитарными представлениями.

Неприводимые бесконечномерные унитарные представления могут иметь косвенную значимость для физической действительности в современных спекулятивных теориях, поскольку (обобщённая) группа Лоренца появляется как малая группа группы Пуанкаре пространственноподобных векторов в пространствах-времени более высокой размерности. Соответствующие бесконечномерные унитарные представления (обобщённой) группы Пуанкаре являются так называемыми тахионными представлениями. Тахионы появляются в спектре бозонных струн и ассоциируются с нестабильностью вакуума Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Даже хотя тахионы не могут быть реализованы в природе, эти представления должны быть математически приняты для понимания теории струн. Это потому, что состояния тахиона появляются в теориях суперструн в попытке создать реалистичные моделиШаблон:Sfn.

Открытой проблемой (на 2006 год) является завершение программы Баргмана – Вигнера для группы изометрий Шаблон:Math пространства-времени Ситтера Шаблон:Math. В идеале, физические компоненты функции волны могли бы быть реализованы на гиперболоиде Шаблон:Math радиуса Шаблон:Math, вложенном в <math>\R^{D-2, 1}</math>, и соответствующие Шаблон:Math уравнения ковариантной волны бесконечномерного унитарного представления известныШаблон:Sfn.

Для математиков свойственно считать группу Лоренца, большей частью, группой Мёбиуса, которой она изоморфна. Группу можно представить в терминах набора функций, определённых на сфере Римана. Они являются P-символами Римана, которые выражаются как гипергеометрические функции.

Классическая теория поля

Хотя электромагнитное поле вместе с гравитационным полем являются единственными классическими полями, доказывающими точное описание природы, другие типы классических полей также важны. При рассмотрении квантовой теории поля (КТП), для описания которой используется вторичное квантование, исходной точкой является одно и более классических полей, где, например, волновые функции, решающие уравнение Дирака, рассматриваются как классические поля предшествующие (вторичному) квантованиюШаблон:Sfn. В то время как вторичное квантование и лагранжев формализм, ассоциированный с ним, не являются фундаментальными аспектами КТПШаблон:Sfn, на самом деле ко всем теориям квантового поля можно подходить с этой стороны, включая стандартную модель Шаблон:Sfn. В этих случаях имеются классические версии уравнений поля, вытекающих из уравнения Эйлера — Лагранжа, и полученных из лагранжиана с помощью принципа наименьшего действия. Эти уравнения поля должны быть релятивистски инвариантными и их решения (которые будут расцениваться как релятивистские функции волны согласно определению ниже) должны преобразовываться по некоторому представлению группы Лоренца.

Действие группы Лоренца на пространство конфигураций поля (конфигурация поля — это история пространства-времени конкретного решения, например, электромагнитное поле во всём пространстве во всё время является одной конфигурацией поля) напоминает действие на гильбертовых пространствах квантовой механики, за исключением того, что коммутаторные скобки заменены на скобки Пуассона теории поляШаблон:Sfn.

Релятивистская квантовая механика

Для целей настоящего раздела введём следующее определениеШаблон:Sfn: Релятивистская функция волны — это множество Шаблон:Mvar функций <math>\psi^{\alpha}</math> в пространстве-времени, которые преобразуются под произвольным собственным преобразованием Лоренца Шаблон:Math как

<math>\psi'^\alpha(x) = D{[\Lambda]^\alpha}_\beta \psi^\beta \left(\Lambda^{-1} x\right),</math>

где Шаблон:Math — Шаблон:Math-мерное матричное представление преобразования Шаблон:Math, принадлежащее той же прямой сумме Шаблон:Math представления, которое будет введено ниже.

Наиболее полезными релятивистскими квантовыми механиками одночастичных теорий (строго последовательной таковой теории не существует) являются уравнение Клейна — Гордона Шаблон:Sfn и уравнение Дирака Шаблон:Sfn в их оригинальном виде. Они релятивистски инварианты и их решения преобразуются под группой Лоренца как Шаблон:Не переведено 5 (<math>(m, n) = (0, 0)</math>) и биспиноры соответственно (<math>(0, \tfrac{1}{2}) \oplus (\tfrac{1}{2}, 0)</math>). Электромагнитное поле является релятивистской функцией волны согласно этому определению, преобразующейся под <math>(1, 0) \oplus (0, 1)</math>Шаблон:Sfn.

Бесконечномерные представления могут быть использованы в анализе рассеянияШаблон:Sfn/

Квантовая теория поля

В квантовой теории поля возникает требование релятивистского инварианта среди других путей потребовать, чтобы S-матрица была обязательно инвариантом ПуанкареШаблон:Sfn. Отсюда следует, что имеется одно или более бесконечномерных представления группы Лоренца, действующих на пространстве Фока^{[nb 10]}. Один из способов гарантии такого представления — существование лагранжева описания (с современными требованиями, см. ссылку) системы, использующее канонический формализм, из которого может быть выведена реализация генераторов группы ЛоренцаШаблон:Sfn.

Преобразование операторов поля иллюстрирует взаимодополняющие роли конечномерных представлений группы Лоренца и бесконечномерных унитарных представлений группы Пуанкаре, что свидетельствует о глубоком единстве между математикой и физикойШаблон:Sfn. Для примера рассмотрим определение Шаблон:Mvar-компонентного Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Sfn. Релятивистский оператор поля — это множество Шаблон:Mvar функций, значениями которых являются операторы, на пространстве-времени, которые преобразуются при подходящих преобразованиях Пуанкаре Шаблон:Math согласно выражениюШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

<math>

 \Psi^\alpha(x) \to \Psi'^\alpha(x') =
   U[\Lambda, a]\Psi^\alpha(x) U^{-1} \left[\Lambda, a\right] =
   D{\left[\Lambda^{-1}\right]^\alpha}_\beta \Psi^\beta (\Lambda x + a)

</math>

Здесь Шаблон:Math является унитарным оператором, представляющим Шаблон:Math в гильбертовом пространстве, на котором определена Шаблон:Math, Шаблон:Mvar является Шаблон:Mvar-мерным представлением группы Лоренца. Правилом преобразования служит Шаблон:Не переведено 5 квантовой теории поля.

Из соглашений о дифференциальных связях, которым должен следовать оператор поля для описания отдельной частицы с определённой массой Шаблон:Mvar и спином Шаблон:Mvar (или спиральностью), выводится, что Шаблон:Sfn^{[nb 11]}

	<math>m = 0</math>	<math>\tfrac{1}{2}</math>	Шаблон:Math	<math>\tfrac{3}{2}</math>
<math>n = 0</math>	Скаляр (1)	Левый спинор Вейля (2)	Самодвойственная 2-форма (3)	(4)
<math>\tfrac{1}{2}</math>	Правый спинор Вейля spinor (2)	4-вектор (4)	(6)	(8)
Шаблон:Math	Антисамодвойственная 2-форма (3)	(6)	Бесследовый симметричный тензор (9)	(12)
<math>\tfrac{3}{2}</math>	(4)	(8)	(12)	(16)

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Теория представлений группы Лоренца

Неформальное введение в теорию представлений

Симметрия пространства и времени

Преобразования Лоренца

Таблица умножения и представления

Обычного матричного преобразования Лоренца недостаточно

Конечномерное представление матрицами

Бесконечномерные представления действиями на векторных пространствах функций

Бесконечномерные представления как бесконечномерные матрицы

Алгебра Ли

Приложения

Математика

Классическая теория поля

Релятивистская квантовая механика

Квантовая теория поля

Абстрактные теории

Конечномерные представления

История

Введение в теорию конечномерных представлений

Алгебра Ли

Унитарный приём

Представления

(μ, ν)-представления алгебры sl(2, C)

(m, n)-представления алгебры so(3; 1)

Общие представления

Группа

Сюръективность экспоненциального отображения для SO(3, 1)

Фундаментальная группа

Проективные представления

Накрывающая группа группы SL(2, C)

Геометрическая точка зрения

Алгебраическая точка зрения

Несюръективность экспоненциального отображения для SL(2, C)

Реализация представлений групп Шаблон:Math и Шаблон:Math и их алгебр Ли

Комплексные линейные представления

Вещественные линейные представления

Свойства представлений (m, n)

Размерность

Точность

Неунитарные

Ограничения для SO(3)

Спиноры

Двойственные представления

Комплексные сопряжённые представления

Присоединённое представление, алгебра Клиффорда и представление cпинора Дирака

Спинорное <math>(\tfrac{1}{2}, 0) \oplus (0, \tfrac{1}{2})</math> представление

Приводимые представления

Инверсия пространства и обращение времени

Обращение чётности пространства

Обращение времени

Действия на пространства функций

Евклидовы вращения

Группа Мёбиуса

P-символы Римана

Бесконечномерные унитарные представления

История

Главная серия для SL(2, C)

Дополнительные серии для SL(2, C)

Теорема Планшереля для SL(2, C)

Классификация представлений SO(3, 1)

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Шаг 4

Явные формулы

Соглашения и базисы алгебры Ли

Спиноры Вейля и биспиноры

См. также

Бесплатные онлайн-ресурсы

Примечания

Комментарии

Источники

Литература

Навигация

Поиск