Русская Википедия:Теория размерности
Тео́рия разме́рности — часть общей топологии, в которой изучаются размерности — числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность определяются тем или иным естественным образом на широком классе топологических пространств. При этом, если <math>X</math> есть полиэдр (в частности, многообразие) размерность <math>X</math> совпадает с числом измерений в смысле элементарной геометрии.
Типы размерностей
- Индуктивная размерность — большая и малая индуктивные размерности <math>\left(\operatorname{Ind}\right. </math> и <math>\left.\operatorname{ind}\right)</math>
- Размерность Лебега <math>\left(\operatorname{dim}\right)</math>
- Гомологическая размерность
- Когомологическая размерность
История
Первое общее определение размерности (большой индукционной размерности <math>\operatorname{Ind}</math>) было дано Брауэром (1913), оно основывалось на идее Пуанкаре. В 1921 г. Менгер и Урысон независимо от Брауэра и друг от друга пришли к похожему определению (так называемая малая индуктивная размерность <math>\operatorname{ind}</math>). Совершенно иной подход к понятию размерности берёт начало от Лебега.
Размерность Хаусдорфа — связное определение для метрических пространств. Это определение дал Хаусдорф в 1919 году.
Определение по Урысону
Топологическая фигура является нульмерной, если в ней не существует никакой связной фигуры, содержащей более одной точки. Множество имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границейШаблон:Sfn.
Множество имеет размерность единица, если оно не является нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна. Множество имеет размерность <math>n</math>, если оно не является <math>n-1</math>, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмернаШаблон:Sfn.
Точку <math>a</math> множества <math>X</math> отделяет от точки <math>b</math> множество <math>A</math> если в фигуре <math>X</math> не существует связного множества, которое содержит точки <math>a</math> и <math>b</math> и не пересекается с <math>A</math>.
Топологическая фигура размерности <math>n</math> определяется как фигура, не являющаяся фигурой размерности <math>n-1</math> и в которой любую точку вместе с её окрестностью можно отделить от остальной части фигуры с помощью множества размерности, не превышающей <math>n-1</math>Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
