Русская Википедия:Теория теплоёмкости Эйнштейна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Статистическая физика Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна была создана Эйнштейном в 1907 году при попытке объяснить экспериментально наблюдаемую зависимость теплоёмкости от температуры.

При разработке теории Эйнштейн опирался на следующие предположения:

• Атомы в кристаллической решётке ведут себя как гармонические осцилляторы, не взаимодействующие друг с другом.
• Частота колебаний всех осцилляторов одинакова и равна <math>\nu=\omega/2\pi </math>.
• Число осцилляторов в 1 моле вещества равно <math>3 N_a</math>, где <math>N_a</math> — число Авогадро.
• Энергия их квантования: <math>\varepsilon = n \hbar \omega </math>, где <math>n \in {\mathbb{N}} </math>, <math>\hbar </math> — редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака).
• Число осцилляторов с различной энергией определяется распределением Больцмана

<math>N_n = N_0 \exp \left ( -{\hbar \omega \over k T} n \right ), </math>

где <math>k</math> — постоянная Больцмана, <math>T</math> — термодинамическая температура.

Внутренняя энергия 1 моля вещества:

<math> \bar{U}_\mu = 3 \bar{\varepsilon} N_a. </math>

Среднее значение энергии одного осциллятора <math>\bar{\varepsilon}</math> находится из соотношения для среднего значения:

<math>\bar{\varepsilon} ={ \sum^{\infty}_{n=0} {\varepsilon_n N_n } \over \sum^{\infty}_{n=0} {\ N_n } }</math>

и составляет:

<math>

\bar{\varepsilon} = {\hbar \omega \over \exp \left( {\hbar\omega \over kT} \right)-1 } ,</math>

отсюда:

<math>

\bar{U}_\mu = 3 N_a \hbar \omega{1 \over \exp \left( {\hbar\omega \over kT} \right)-1 } .</math>

Определяя теплоёмкость как производную внутренней энергии по температуре, получаем окончательную формулу для теплоёмкости:

<math>

C = {dU \over dT } = 3 R \left( {\hbar \omega \over kT } \right)^2 { \exp \left( {\hbar\omega \over kT} \right) \over \left( \exp \left( {\hbar\omega \over kT} \right)-1 \right)^2 } .</math>

Согласно модели, предложенной Эйнштейном, при абсолютном нуле температуры теплоёмкость стремится к нулю, при больших температурах, напротив, выполняется закон Дюлонга — Пти. Величина <math>\theta_E={\hbar \omega \over k }</math> иногда называется температурой Эйнштейна.

Недостатки теории

Файл:DebyeVSEinstein.jpg

Расхождение теорий Эйнштейна и Дебая

Теория Эйнштейна, однако, недостаточно хорошо согласуется с результатами экспериментов при низких температурах, когда при стремлении температуры к нулю теплоемкость стремится к нулю гораздо медленнее, чем по теории Эйнштейна. Также теория Эйнштейна содержит неточное предположение о равенстве частот колебаний всех осцилляторов. Более точная теория была создана Дебаем в 1912 году.

См. также

• Модель Дебая
• Закон Дюлонга — Пти
• Закон Джоуля — Коппа

Источники

• Книга:Сивухин Д.В.: Термодинамика и молекулярная физика