Русская Википедия:Теория трансцендентных чисел

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Теория трансценде́нтных чисел — раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа, то есть числа (вещественные или комплексные), которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например,такие важнейшие константы анализа, как <math>\pi</math> и e, являются трансцендентными, а <math>\sqrt{2}</math> не является, поскольку <math>\sqrt{2}</math> есть корень многочлена <math>x^2-2.</math>

Одна из главных проблем данной теории — выяснить, является ли заданное число трансцендентным или нет. Методы и результаты теории трансцендентных чисел широко применяются при исследовании диофантовых уравнений.

Трансцендентные числа

Согласно основной теореме алгебры, любой ненулевой многочлен с целыми коэффициентами имеет комплексный корень. Другими словами, для любого полинома <math>P(x)</math> с целыми коэффициентами существует комплексное число <math>\alpha</math> такое, что <math>P(\alpha) = 0.</math> Теория трансцендентных чисел рассматривает преимущественно обратный вопрос: дано комплексное число <math>\alpha</math>; определить, существует ли многочлен <math>P(x)</math> с целыми коэффициентами такой, что <math>P(\alpha) = 0.</math> Если доказано, что такого полинома не существует, значит, тем самым доказана трансцендентность числа <math>\alpha</math>.

Совокупность корней всех многочленов с целыми коэффициентами называется множеством алгебраических чисел. Например, всякое рациональное число <math>{m \over n}</math> является алгебраическим как корень многочлена <math>nx-m;</math> всевозможные конечные комбинации радикалов произвольной степени из целых чисел также относятся к алгебраическим числам. Таким образом, все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. Как выяснилось, трансцендентных чисел в некотором смысле гораздо больше, чем алгебраических (см. ниже).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

  1. Если t — трансцендентное число, то <math>-t</math> и <math>1/t</math> также трансцендентны.
  2. Если a — алгебраическое число, не равное нулю, t — трансцендентное, то <math>a \pm t,\ at,\ a/t,\ t/a</math> трансцендентны.
  3. Если t — трансцендентное число, а <math>n</math> — натуральное, то <math>t^n</math> и <math>\sqrt[n]t</math> трансцендентны.

История

Приближение рациональными числами: от Лиувилля до Рота

Понятие трансцендентных чисел, противопоставленных алгебраическим, восходит к семнадцатому веку, когда Готфрид Лейбниц доказал, что синус не является алгебраической функцией[1]. Более обстоятельно этот вопрос в 1740-е годы рассмотрел ЭйлерШаблон:Sfn; он заявил [2], что значение логарифма <math>\log_a{b}</math> для рациональных чисел <math>a, b</math> не является алгебраическим, за исключением случая, когда <math>b=a^c</math> для некоторого рационального <math>c.</math> Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века. Эйлеру принадлежат и сами термины: алгебраическое и трансцендентное число (в работе 1775 года)Шаблон:Sfn.

Первые конкретные примеры трансцендентных чисел указал Жозеф Лиувилль в 1840-х годах с помощью непрерывных дробей. Позднее, в 1850-х годах, он сформулировал необходимое условие для того, чтобы число было алгебраическим; соответственно, если это условие нарушается, то число заведомо трансцендентно[3]. С помощью такого критерия он описал широкий класс трансцендентных чисел, получивший название «чисел Лиувилля». Позднее было установлено, что числа Лиувилля образуют на вещественной числовой оси всюду плотное множество, имеющее мощность континуума и вместе с тем нулевую меру Лебега[4].

Критерий Лиувилля по существу означает, что алгебраические числа не могут быть хорошо аппроксимированы (приближены) рациональными числами (см. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел). Таким образом, если число хорошо аппроксимируется рациональными числами, то оно обязано быть трансцендентным. Точный смысл понятия «хорошо аппроксимируется» у Лиувилля следующий: если <math>\alpha</math> является алгебраическим числом степени <math>d \geqslant 2</math> и ε — любое положительное число, то неравенство

<math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{d+\varepsilon}}</math>

может иметь лишь конечное число рациональных решений <math>p/q.</math> Таким образом, для доказательства трансцендентности следует убедиться, что при любых <math>d</math> и <math>\varepsilon > 0</math> существует бесконечно много решений указанного неравенстваШаблон:Sfn.

В XX веке труды Акселя Туэ[5], Карла Зигеля[6] и Клауса Рота[7] позволили несколько упростить проверку неравенства Лиувилля, заменив выражение <math>d+\varepsilon</math> сначала на <math>d/2+\varepsilon+1,</math> а затем (1955 год) на <math>2+\varepsilon.</math> Этот результат, известный как теорема Туэ — Зигеля — Рота, как полагали, уже не может быть улучшен, так как проверено, что замена <math>2+\varepsilon</math> на просто 2 даёт ошибочное утверждение. Однако Серж Ленг предложил улучшение версии Рота; в частности, он предположил, что <math>q^{2+\varepsilon}</math> можно заменить на меньшее выражение <math>q^2\ln(q)^{1+\varepsilon}</math>.

Теорема Туэ — Зигеля — Рота эффективно завершила работу, начатую Лиувиллем, она позволила математикам доказать трансцендентность многих чисел — например, константы Чемпернауна. Тем не менее данная методика недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа; в частности, она неприменима к числам <math>e</math> и <math>\pi</math>[8].

Вспомогательные функции: от Эрмита до Бейкера

Для анализа таких чисел, как <math>e</math> и <math>\pi,</math> в девятнадцатом веке были разработаны другие методы. Указанные две константы, как известно, связаны тождеством Эйлера. Удобным инструментом анализа стали так называемые Шаблон:Нп5, которые имеют много нулей в исследуемых точках. Здесь много нулей может означать буквально большое число нулей, или всего один ноль, но с высокой кратностью, или даже множество нулей с высокой кратностью каждый.

Шарль Эрмит в 1873 году, чтобы доказать трансцендентность <math>e,</math> использовал вспомогательные функции, аппроксимирующие функцию <math>e^{kx}</math> для каждого натурального числа <math>k</math>[9]. В 1880-е годы результаты Эрмита были использованы Фердинандом фон Линдеманом[10] для того, чтобы доказать: если <math>\alpha</math> — ненулевое алгебраическое число, то <math>e^\alpha</math> трансцендентно. В частности, отсюда следует, что число <math>\pi</math> трансцендентно, поскольку <math>e^{i\pi}</math> является алгебраическим числом (равно -1). Это открытие закрывает такую известную проблему античности, как «квадратура круга». Другой класс чисел, чья трансцендентность следует из теоремы Линдемана — логарифмы алгебраических чисел[4].

Дальнейшим развитием темы занялся Карл Вейерштрасс, опубликовавший в 1885 году теорему Линдемана–Вейерштрасса[11]. Он значительно расширил класс чисел с доказанной трансцендентностью, включив в него значения функций синуса и косинуса почти для всех алгебраических значений аргументовШаблон:Sfn.

В 1900 году Давид Гильберт в своём знаменитом докладе на Втором Международном конгрессе математиков перечислил важнейшие математические проблемы. В седьмой из них, одной из самых трудных (по его собственной оценке), ставился вопрос о трансцендентности чисел вида <math>a^b,</math> где <math>a,b</math> — алгебраические числа, <math>a</math> не ноль и не единица, а <math>b</math> иррационально. В 1930-х годах Александр Гельфонд[12] и Теодор Шнайдер[13] доказали, что все такие числа действительно трансцендентны (теорема Гельфонда—Шнайдера). Авторы использовали для доказательства неявную вспомогательную функцию, существование которой гарантирует Шаблон:Нп5. Из теоремы Гельфонда–Шнайдера вытекает трансцендентность таких чисел, как <math>2^{\sqrt{2}}</math> и постоянная Гельфонда[4].

Следующий важный результат в этой области был получен в 1960-х годах, когда Алан Бейкер продвинулся в решении проблемы, поставленной Гельфондом и касающейся линейных форм над логарифмами. Ранее Гельфонду удалось найти нетривиальную нижнюю границу для выражения:

<math>|\beta_1\log\alpha_1 +\beta_2\log\alpha_2|\,</math>

где все четыре неизвестные величины являются алгебраическими, причём <math>\alpha_1, \alpha_2</math> не равны нулю или единице, а <math>\beta_1, \beta_2</math> иррациональны. Найти аналогичные нижние границы для суммы трёх и более логарифмов Гельфонду не удалось. Доказательство Шаблон:Нп5 содержало нахождение таких границ и решение Шаблон:Нп5. Эта работа принесла Бейкеру премию Филдса 1970 года за её использование для решения диофантовых уравнений.

Из теоремы Бейкера следует, что если <math>\alpha_1 \dots \alpha_n</math> — алгебраические числа, не равные нулю или единице, и <math>\beta_1 \dots \beta_n</math> — алгебраические числа такие, что <math>1, \beta_1 \dots \beta_n</math> линейно независимы над полем рациональных чисел, то число <math>\alpha_1^{\beta_1}\alpha_2^{\beta_2}\cdots\alpha_n^{\beta_n}</math> трансцендентно[14].

Другие методы: Кантор и Зильбер

В 1874 году Георг Кантор, разрабатывая свою теории множеств, доказал, что алгебраические числа могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Другими словами, множество алгебраических чисел счётно, а тогда множество трансцендентных чисел должно быть не только бесконечно, но и более чем счётно (континуально)[15]. Позже, в 1891 году, Кантор использовал для доказательства более простой и привычный диагональный метод[16]. Встречаются мнения, что эти результаты Кантора непригодны для построения конкретных трансцендентных чисел[17], однако на деле доказательства в обоих вышеупомянутых документах дают методы построения трансцендентных чисел[18]. Кантор использовал теорию множеств для доказательства полноты множества трансцендентных чисел.

Одной из последних тенденций при решении задач теории трансцендентных чисел стало использование теории моделей. Проблема состоит в том, чтобы определить степень трансцендентности поля

<math>K=\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_n,e^{x_1},\ldots,e^{x_n})</math>

для комплексных чисел <math>x_1,\ldots,x_n,</math> которые являются линейно независимыми над полем рациональных чисел. Стивен Шеньюл (Stephen Schanuel) предположил, что ответ, по крайней мере, n, но доказательства этого пока нет. В 2004 году Борис Зильбер опубликовал работу, которая использует теоретико-модельные методы, чтобы создать структуру, которая ведёт себя очень похоже на комплексные числа, снабжённые операциями сложения, умножения и возведения в степень. Кроме того, в этой абстрактной структуре гипотеза Шеньюла действительно выполняется[19]. Пока нет уверенности, что эта структура действительно такая же, как комплексные числа с названными операциями.

Подходы

Выше уже упоминалось, что множество алгебраических чисел всего лишь счётно и, следовательно, «почти все» числа трансцендентны. Трансцендентные числа, таким образом, представляют типичный случай; однако обычно не просто доказать, что данное число является трансцендентным. По этой причине теория трансцендентности часто предпочитает более количественный подход: пусть дано комплексное число α; спрашивается, насколько близко оно к алгебраическим числам? Например, если удаётся показать, что никакой рост степени многочлена или его коэффициентов не может сделать α его корнем, то это число должно быть трансцендентным.

Для реализации этой идеи можно найти нижнюю границу формы:

<math> |P(\alpha)| > F(A, d),</math>

где правая сторона — некоторая положительная функция, зависящая от некоторой меры <math>A</math> коэффициентов многочлена и его степени <math>d;</math> нижняя грань («мера трансцендентности») определяется по всем ненулевым многочленам. Случай <math>d=1</math> соответствует классической задаче диофантовых приближений, то есть поиску нижней грани для выражения:

<math>|ax + b|</math>

Методы теории трансцендентности и диофантовых приближений имеют много общего: они оба используют концепцию вспомогательных функций.

Обобщения

Определение трансцендентности можно обобщить. Набор чисел <math>\alpha_1 \dots \alpha_n</math> называется алгебраически независимым над полем <math>K</math>, если не существует ненулевого многочлена <math>P(x_1 \dots x_n)</math> с коэффициентами в <math>K</math> такого, что <math>P(\alpha_1 \dots \alpha_n) = 0.</math> Для поля рациональных чисел и набора из одного числа <math>\alpha</math> это определение совпадает с данным выше определением трансцендентности <math>\alpha</math>. Разработана также теория трансцендентных p-адических чиселШаблон:Sfn.

Открытые проблемы

Упомянутая выше теорема Гельфонда–Шнайдера открыла обширный класс трансцендентных чисел, но этот класс всего лишь счётный, и для многих важных констант до сих пор не известно, трансцендентны ли они. Не всегда даже известно, являются ли они иррациональными. Среди них, например, различные сочетания <math>\pi</math> и e, константа Апери, постоянная Эйлера — МаскерониШаблон:Sfn.

Существующие достижения в теории касаются преимущественно чисел, связанных с экспонентой. Это означает, что нужны совершенно новые методы. Главная проблема в теории трансцендентности — доказать, что конкретный набор трансцендентных чисел является алгебраически независимым, это более сильное утверждение, чем то, что отдельные числа в наборе трансцендентны. Мы знаем, что <math>\pi</math> и e трансцендентны, но это не означает, что трансцендентно <math>\pi+e</math> или другие комбинации этих чисел (за исключением <math>e^\pi,</math> постоянной Гельфонда, которая, как уже известно, трансцендентна). Гипотеза Шеньюла решает проблему с <math>\pi+e,</math> однако она также относится только к числам, связанным с экспонентой.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Bourbaki N. Elements of the History of Mathematics, Springer (1994).
  2. ↑ Шаблон:Книга
  3. ↑ J. Liouville. Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques, Comptes Rendus Acad.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок ME не указан текст
  5. ↑ Шаблон:Статья
  6. ↑ Шаблон:Статья
  7. ↑ Шаблон:Статья
  8. ↑ Шаблон:Статья
  9. ↑ Шаблон:Статья
  10. ↑ Шаблон:Статья
  11. ↑ Шаблон:Статья
  12. ↑ Шаблон:Cite webШаблон:Cite web.
  13. ↑ Шаблон:Статья
  14. ↑ Baker A. Linear forms in the logarithms of algebraic numbers.
  15. ↑ Шаблон:Статья
  16. ↑ Шаблон:Статья
  17. ↑ Шаблон:Книга
  18. ↑ Шаблон:Статья
  19. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Теория_трансцендентных_чисел&oldid=10920838