Русская Википедия:Тета-функция

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Complex theta minus0point1times e i pi 0point1.jpg
Оригинальная тета-функция Якоби <math>\theta_1</math> с <math>u = i{\pi}z</math> и Шаблон:Не переведено 5 <math>q = e^{i{\pi}\tau} = 0,1e^{0,1i\pi}</math>}}. Соглашения:
<math>\begin{align} \theta_1(u;q) &= 2 q^\frac14 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n q^{n(n+1)} \sin(2n+1)u \\ &= \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} (-1)^{n-\frac12} q^{\left(n+\frac12\right)^2} e^{(2n+1)i u} \end{align}</math>

Тета-функции — это специальные функции от нескольких комплексных переменных. Они играют важную роль во многих областях, включая теории абелевых многообразий, пространства модулей и квадратичных форм. Они применяются также в теории солитонов. После обобщения к алгебре Грассмана функции появляются также в квантовой теории поляШаблон:Sfn.

Наиболее распространённый вид тета-функций — это функции, встречающиеся в теории эллиптических функций. По отношению к одной из комплексных переменных (обычно обозначаемой Шаблон:Mvar) тета-функция имеет свойство, выражающееся в сложении периодов ассоциированных эллиптических функций, что делает их Шаблон:Не переведено 5. В абстрактной теории это получается из условия Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Не переведено 5.

Тета-функция Якоби

Файл:Jacobi theta 1.png
Тета-функция 1 Якоби
Файл:Jacobi theta 2.png
Тета-функция 2 Якоби
Файл:Jacobi theta 3.png
Тета-функция 3 Якоби
Файл:Jacobi theta 4.png
Тета-функция 4 Якоби

Имеется несколько связанных функций, которые называются тета-функциями Якоби, и много различных и несовместимых систем их обозначения. Одна тета-функция Якоби (названа именем Карла Густава Якоби), это функция, определённая от двух комплексных переменных Шаблон:Mvar и <math>\tau</math>, где Шаблон:Mvar может быть любым комплексным числом, а <math>\tau</math> ограничена верхней половиной плоскости, что означает, что число имеет положительную мнимую часть. Функция задаётся формулой

<math>\begin{align}
\vartheta(z; \tau) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \exp \left(\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z\right) = \\
&= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} \cos(2\pi n z) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}\eta^n,

\end{align}</math>

где <math>q = \exp(\pi{i}\tau)</math> и <math>\eta = \exp(2\pi{i}z)</math>. Функция является Шаблон:Не переведено 5. Если фиксировать <math>\tau</math>, функция становится рядом Фурье для периодической целой функции от Шаблон:Mvar с периодом 1. В этом случае тета-функция удовлетворяет тождеству

<math>\vartheta(z + 1; \tau) = \vartheta(z; \tau).</math>

Функция ведёт себя очень регулярно с учётом квазипериода <math>\tau</math> и удовлетворяет функциональному уравнению

<math>\vartheta(z + a + b\tau; \tau) = \exp\left(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z\right) \,\vartheta(z; \tau),</math>

где Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — целые числа.

Файл:Complex theta animated1.gif
Тета-функция <math>\theta_1</math> с различными Шаблон:Не переведено 5 <math>q = e^{i{\pi}\tau}</math>. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется Шаблон:Mvar при изменении <math>\tau</math>
Файл:Complex theta animated2.gif
Тета-функция <math>\theta_1</math> с различными Шаблон:Не переведено 5 <math>q = e^{i{\pi}\tau}</math>. Чёрная точка на правом рисунке показывает, как меняется Шаблон:Mvar при изменении <math>\tau</math>

Вспомогательные функции

Тета-функция Якоби, определённая выше, иногда рассматривается вместе с тремя дополнительными тета-функциями и в этом случае записывается с дополнительным индексом 0:

<math>\vartheta_{00}(z;\tau) = \vartheta(z;\tau)</math>

Дополнительные (полупериодичные) функции определяются формулами

<math>\begin{align}

\vartheta_{01}(z;\tau)& = \vartheta\!\left(z+\tfrac12;\tau\right)\\[3pt] \vartheta_{10}(z;\tau)& = \exp\left(\tfrac14\pi i \tau + \pi i z\right)\vartheta\left(z + \tfrac12\tau;\tau\right)\\[3pt] \vartheta_{11}(z;\tau)& = \exp\left(\tfrac14\pi i \tau + \pi i\left(z+\tfrac12\right)\right)\vartheta\left(z+\tfrac12\tau + \tfrac12;\tau\right). \end{align}</math>

Этим обозначениям следовали Риман и Мамфорд. Первоначальная формулировка Якоби была в терминах Шаблон:Не переведено 5 <math>q = e^{i{\pi}\tau}</math>, а не <math>\tau</math>. В обозначениях Якоби Шаблон:Mvar-функции записываются в виде:

<math>\begin{align}

\theta_1(z;q) &= -\vartheta_{11}(z;\tau)\\ \theta_2(z;q) &= \vartheta_{10}(z;\tau)\\ \theta_3(z;q) &= \vartheta_{00}(z;\tau)\\ \theta_4(z;q) &= \vartheta_{01}(z;\tau) \end{align}</math>

Приведённые выше определения тета-функции Якоби далеко не единственные. См. статью Шаблон:Не переведено 5 с дальнейшим обсуждением.

Если мы положим <math>z = 0</math> в тета-функциях выше, мы получим четыре функции, зависящие только от <math>\tau</math> и определённые на верхней полуплоскости (которые иногда называются тета-константами.) Они могут быть использованы для определения различных модулярных форм и для параметризации некоторых кривых.

Тождества основная

Так называемые функции «тета-нульверт» (Theta-Nullwert) имеют следующее представление суммы и следующее представление произведения:

<math>\vartheta_{00}(x) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} x^{k^2} = \prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n})(1+x^{2n-1})^2</math>
<math>\vartheta_{01}(x) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} (-1)^k x^{k^2} = \prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n})(1-x^{2n-1})^2</math>
<math>\vartheta_{10}(x) = x^{1/4}\sum_{k = -\infty}^{\infty} x^{k(k + 1)} = 2\,x^{1/4}\prod_{n = 1}^{\infty} (1-x^{2n})(1+x^{2n})^2</math>

Тета-функция удовлетворяет следующему основному соотношению с «номеном q»:

<math>

\vartheta_{00}\bigl[q(k)\bigr] = \sqrt{2\pi^{-1} K(k)} </math>

<math>

\vartheta_{01}\bigl[q(k)\bigr] = \sqrt[4]{1 - k^2}\sqrt{2\pi^{-1} K(k)} </math>

<math>

\vartheta_{10}\bigl[q(k)\bigr] = \sqrt{|k|}\sqrt{2\pi^{-1} K(k)} </math>

<math>

q(k) = \exp\bigl[- \pi \,K(\sqrt{1 - k^2})/K(k)\bigr] </math>

Следующие две формулы определяют полный эллиптический интеграл первого типа и согласуются друг с другом:

<math>

K(\varepsilon) = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - \varepsilon^2 x^2)}} \,\mathrm{d}x </math>

<math>

K(\varepsilon) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1 - \varepsilon^2 \sin(\varphi)^2}} \,\mathrm{d}\varphi </math>

Тождества Якоби

В частности Тождества Якоби определяется следующей формулой:

<math>\vartheta_{00}(0;\tau)^4 = \vartheta_{01}(0;\tau)^4 + \vartheta_{10}(0;\tau)^4</math>
<math>

\vartheta_{00}(q)^4 = \vartheta_{01}(q)^4 + \vartheta_{10}(q)^4 </math> Эта формула представляет собой кривой Ферма четвертой степени.

Тождества Якоби также возникает как комбинация трех квадратичных соотношений:

<math>

2\,\vartheta_{00}(q^2)^2 = \vartheta_{00}(q)^2 + \vartheta_{01}(q)^2 </math>

<math>

2\,\vartheta_{10}(q^2)^2 = \vartheta_{00}(q)^2 - \vartheta_{01}(q)^2 </math>

<math>

\vartheta_{10}(q)^2 = 2\,\vartheta_{10}(q^2)\,\vartheta_{00}(q^2) </math>

Объединение этих трех формул дает следующую формулу:

<math>

\vartheta_{10}(q)^4 = \vartheta_{00}(q)^4 - \vartheta_{01}(q)^4 </math>

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются модулярной группой, которая порождается отображениями <math>\tau \mapsto \tau + 1</math> и <math>\tau \mapsto -\tfrac{1}{\tau}</math>. Тождества для первого преобразования найти легко, поскольку добавление единицы в показателе к <math>\tau</math> имеет тот же эффект, что и добавление <math>\tfrac{1}{2}</math> к Шаблон:Mvar (<math>n \equiv n^2</math> mod 2). Во втором случае положим

<math>\alpha = (-i \tau)^\frac12 \exp\left(\frac{\pi}{\tau} i z^2 \right).</math>

Тогда

<math>\begin{align}

\vartheta_{00}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = \alpha\,\vartheta_{00}(z; \tau)\quad& \vartheta_{01}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = \alpha\,\vartheta_{10}(z; \tau)\\[3pt] \vartheta_{10}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = \alpha\,\vartheta_{01}(z; \tau)\quad& \vartheta_{11}\!\left(\frac{z}{\tau}; \frac{-1}{\tau}\right)& = -i\alpha\,\vartheta_{11}(z; \tau). \end{align}</math>

Тета-функции в терминах нома

Вместо выражения тета-функций в терминах Шаблон:Mvar и <math>\tau</math> мы можем выразить их в терминах аргумента Шаблон:Mvar и Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Mvar, где <math>w = e^{\pi{i}z}</math>, а <math>q = e^{\pi{i}\tau}</math>. В этом случае функции превращаются в

<math>\begin{align}

\vartheta_{00}(w, q)& = \sum_{n=-\infty}^\infty (w^2)^n q^{n^2}\quad& \vartheta_{01}(w, q)& = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n (w^2)^n q^{n^2}\\[3pt] \vartheta_{10}(w, q)& = \sum_{n=-\infty}^\infty (w^2)^{n+\frac12} q^{\left(n + \frac12\right)^2}\quad& \vartheta_{11}(w, q)& = i \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n (w^2)^{n+\frac12} q^{\left(n + \frac12\right)^2}. \end{align}</math>

Мы видим, что тета-функции можно определить в терминах Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Формулы могут быть использованы, поэтому, для определения тета-функций над другими полями, где экспоненциальная функция может быть не везде определена, такими как поле [[p-адическое число|Шаблон:Mvar-адических чисел]].

Представления произведений

Тройное произведение Якоби (специальный случай Шаблон:Не переведено 5) говорит нам, что для комплексных чисел Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar с <math>|q|< 1</math> и <math>w \ne 0</math> мы имеем

<math>\prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + w^2 q^{2m-1}\right) \left( 1 + w^{-2}q^{2m-1}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}. </math>

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта Шаблон:Не переведено 5.

Если мы выразим тета-функцию в терминах томов <math>q = e^{\pi{i}\tau}</math> и <math>w = e^{\pi{i}z}</math>, то

<math>\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(\pi i \tau n^2) \exp(2\pi i z n) = \sum_{n=-\infty}^\infty w^{2n}q^{n^2}. </math>

Мы поэтому получаем формулу произведения для тета-функции вида

<math>\vartheta(z; \tau) = \prod_{m=1}^\infty

\big( 1 - \exp(2m \pi i \tau)\big) \Big( 1 + \exp\big((2m-1) \pi i \tau + 2 \pi i z\big)\Big) \Big( 1 + \exp\big((2m-1) \pi i \tau - 2 \pi i z\big)\Big). </math>

В терминах Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar:

<math>\begin{align}

\vartheta(z; \tau) &= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}w^2\right) \left( 1 + \frac{q^{2m-1}}{w^2}\right) \\ &= \left(q^2;q^2\right)_\infty\,\left(-w^2q;q^2\right)_\infty\,\left(-\frac{q}{w^2};q^2\right)_\infty \\ &= \left(q^2;q^2\right)_\infty\,\theta\left(-w^2q;q^2\right) \end{align}</math>

где <math>(~~;~~)_\infty</math> является [[q-символ Похгаммера|Шаблон:Mvar-символом Похгаммера]], а <math>\theta(~~;~~)</math> является Шаблон:Не переведено 5. Если раскрыть скобки, тройное произведение Якоби получит вид

<math>\prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - q^{2m}\right) \Big( 1 + \left(w^2+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}\Big),</math>

что можно также переписать в виде

<math>\vartheta(z\mid q) = \prod_{m=1}^\infty

\left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).</math>

Эта формула верна для общего случая, но представляет особый интерес при вещественных Шаблон:Mvar. Аналогичные формулы произведений для дополнительных тета-функций

<math>\begin{align}

\vartheta_{01}(z\mid q) &= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right), \\[3pt] \vartheta_{10}(z\mid q) &= 2 q^\frac14\cos(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right), \\[3pt] \vartheta_{11}(z\mid q) &= -2 q^\frac14\sin(\pi z)\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 - 2 \cos(2 \pi z)q^{2m}+q^{4m}\right). \end{align}</math>

Интегральные представления

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

<math>\begin{align}

\vartheta_{00} (z; \tau) &= -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos (2 u z + \pi u)}{\sin (\pi u)}} \mathrm{d}u; \\[6pt] \vartheta_{01} (z; \tau) &= -i \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos (2 u z)}{\sin (\pi u)}} \mathrm{d}u; \\[6pt] \vartheta_{10} (z; \tau) &= -i e^{iz + \frac14 i \pi \tau } \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos (2 u z + \pi u + \pi \tau u)}{\sin (\pi u)}} \mathrm{d}u; \\[6pt] \vartheta_{11} (z; \tau) &= e^{iz + \frac14 i \pi \tau } \int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} \frac{\cos (2 u z + \pi \tau u)}{\sin (\pi u)}} \mathrm{d}u. \end{align}</math>

Явные значения

Лемнискатические значения

См. статью Джинхи Йи (2004)Шаблон:Sfn.

<math>\vartheta_{00}(e^{-\pi x}) = \vartheta(0; ix) = \theta_3(0;e^{-\pi x}) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp(- \pi x n^2)</math>
<math>\vartheta_{01}(e^{-\pi x}) = \theta_4(0;e^{-\pi x}) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}\exp(- \pi x n^2)</math>
<math>\vartheta_{10}(e^{-\pi x}) = \theta_2(0;e^{-\pi x}) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp\bigl[- \pi x (n + \tfrac{1}{2})^2\bigr]</math>

В следующей таблице приведены лемнискатические значения функций Шаблон:Math и Шаблон:Math:

Шаблон:Math Шаблон:Math Шаблон:Math
<math>\text{e}^{-\pi}</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-1/4} = \sqrt{G}</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1} = 2^{1/4}\sqrt{G}</math>
<math>\text{e}^{-2\pi}</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-3/4}\sqrt{\sqrt{2}-1}</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-3/4}\sqrt{\sqrt{2}+1}</math>
<math>\text{e}^{-3\pi}</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-3/2}3^{-3/8}\sqrt{\sqrt{3}-1}(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12})</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-1/4}3^{-3/8}\sqrt{\sqrt{3}+1}</math>
<math>\text{e}^{-4\pi}</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-5/4}(\sqrt[4]{2}-1)</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-5/4}(\sqrt[4]{2}+1)</math>
<math>\text{e}^{-5\pi}</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-5/4}5^{-1/2}(\sqrt[4]{5}-1)^2 \Phi^{-1/2}</math> <math>\sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}5^{-1/2} \Phi^{3/2}</math>

Дополнительные значения для Шаблон:Math:

<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-6\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-2}3^{-3/8}\sqrt{\cot(\tfrac{1}{24}\pi)}(\sqrt[4]{3}+1)(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12})</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-7\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-5/8}7^{-7/16}\sqrt[4]{3+\sqrt{7}}\sqrt{5-\sqrt{7}+\sqrt[4]{28}}</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-8\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-2}(\sqrt{2+\sqrt{2}}+2^{7/8})</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-9\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}3^{-1}(\sqrt[3]{2\sqrt{3}+2}+1)</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-10\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1} 5^{-1/2} \Phi^{3/2} \cos\bigl[\tfrac{1}{4}\arcsin\bigl(\Phi^{-12}\bigr)\bigr]</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-11\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1} 2^{-5/4} 11^{-5/8} \sqrt{\sqrt{11} + 3} \,\bigl\{4 + \sqrt{11} - 3\sqrt{3}\tanh\bigl[\tfrac{1}{4}\operatorname{arcosh}(\tfrac{7}{4}) + \tfrac{1}{2}\operatorname{artanh}(\tfrac{4}{9}\sqrt{3}) - \tfrac{1}{6}\operatorname{artanh}(\tfrac{1}{27}\sqrt{3})\bigr]\bigr\}</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-12\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-2}3^{-3/8}\sqrt{\cot(\tfrac{1}{24}\pi)}(\sqrt[4]{3}+1)(\sqrt{3}+1-\sqrt[4]{12})\cos\bigl\{\tfrac{1}{2}\arcsin\bigl[\tfrac{1}{2}(2 + \sqrt{3})(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2(\sqrt{2} - 1)^2(\sqrt[4]{3} - 1)^4\bigr]\bigr\}</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-13\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1} 13^{-1/2} \sqrt{5\sqrt{13} + 18}\,\bigl\{\tfrac{1}{6}(5\sqrt{39} - 17\sqrt{3})\coth\bigl[\tfrac{1}{3}\operatorname{artanh}(\tfrac{6}{11}\sqrt{3}) - \tfrac{1}{2}\operatorname{arcosh}\bigl(\tfrac{4}{13}\sqrt{13}\bigr)\bigr] - \tfrac{1}{2}(\sqrt{13}-3)\bigr\}</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-14\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-5/8}7^{-7/16}\sqrt[4]{3+\sqrt{7}}\sqrt{5-\sqrt{7}+\sqrt[4]{28}}\,\cos\bigl\{\tfrac{1}{4}\arcsin\bigl[(\tfrac{1}{4}\sqrt{14} + \tfrac{1}{4}\sqrt{2} - \tfrac{1}{2}\sqrt[4]{7})^{12}\bigr]\bigr\}</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-15\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1} 3^{-1/2} 5^{-1/2} \Phi^{3/2} \bigl(\sqrt{2\sqrt{1+\Phi^{-8}+\Phi^{-16}}+2+\Phi^{-8}} + \sqrt{1-\Phi^{-8}}\bigr)^{1/2}</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-16\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1} \bigl[2^{-9/4}(\sqrt[4]{2} + 1) + 2^{-23/16}\sqrt[4]{\sqrt{2} + 1}\bigr]</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-17\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1} 2^{-3/2} 17^{-1/2} \bigl[(\sqrt[4]{17} + 1)\sqrt{\sqrt{17} - 1} + \sqrt[8]{272}\sqrt{\sqrt{17} + 3}\bigr]</math>
<math>\vartheta_{00}(\text{e}^{-18\pi}) = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}3^{-1}(\sqrt[3]{2\sqrt{3}+2}+1) \cos\bigl\langle\tfrac{1}{4}\arcsin\bigl\{\bigl[2\sqrt{3} - 3 - \sqrt{6}(2 - \sqrt{3})^{5/6} + \sqrt{2}(2 - \sqrt{3})^{7/6}\bigr]^4\bigr\}\bigr\rangle</math>

И с греческой буквой <math>\Phi = (\sqrt{5} + 1)/2</math> показано Золотое сечение. Символом <math>G</math> обозначена постоянная Гаусса, которая представляет собой отношение лемнискатической константы к числу Шаблон:Math. Только что показанные значения были исследованы южнокорейским математиком Джинхи Йи из Пусанского национального университета (부산 대학교). Их результаты впоследствии были опубликованы в Журнале математического анализа и приложений. Кроме того, применяются следующие значения:

<math>\vartheta_{00}[\exp(-\tfrac{1}{2}\pi)] = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-1/4}\sqrt{\sqrt{2}+1}</math>
<math>\vartheta_{00}[\exp(-\tfrac{1}{3}\pi)] = \sqrt[4]{\pi}\,{\Gamma\left(\tfrac{3}{4}\right)}^{-1}2^{-1/4}3^{1/8}\sqrt{\sqrt{3}+1}</math>

Эти два значения можно определить непосредственно с помощью формулы суммы Пуассона:

<math>\vartheta_{00}[\exp(-\pi/y)] = \sqrt{y}\,\vartheta_{00}[\exp(-\pi y)]</math>

Эквиангармонические значения

Функция Шаблон:Math имеет следующие эквиангармонические значения функции:

<math>\vartheta_{00}[\exp( -\sqrt{3}\,\pi)] = \pi^{-1/2}2^{-1/6}3^{-1/8}\beta(\tfrac{1}{3})^{1/2}</math>
<math>\vartheta_{00}[\exp(-2\sqrt{3}\,\pi)] = \pi^{-1/2}2^{-1/6}3^{-1/8}\beta(\tfrac{1}{3})^{1/2}\cos(\tfrac{1}{24}\pi)</math>
<math>\vartheta_{00}[\exp(-3\sqrt{3}\,\pi)] = \pi^{-1/2}2^{-1/6}3^{-7/8}\beta(\tfrac{1}{3})^{1/2}(\sqrt[3]{2}+1)</math>
<math>\vartheta_{00}[\exp(-4\sqrt{3}\,\pi)] = \pi^{-1/2}2^{-7/6}3^{-1/8}\beta(\tfrac{1}{3})^{1/2}[1+\sqrt{\cos(\tfrac{1}{12}\pi)}]</math>
<math>\vartheta_{00}[\exp(-5\sqrt{3}\,\pi)] = \pi^{-1/2}2^{-1/6}3^{-9/8}\beta(\tfrac{1}{3})^{1/2}\sin(\tfrac{1}{5}\pi)(\tfrac{2}{5}\sqrt[3]{100}+\tfrac{2}{5}\sqrt[3]{10}+\tfrac{3}{5}\sqrt{5}+1)</math>

Некоторые эквиангармонические значения тета-функции были исследованы, в частности, математиками Брюсом Карлом Берндтом и Орсом Ребаком.

Значения тета над факториалами восьмых

Значения функции вида Шаблон:Math:

<math>\vartheta_{01}[\exp( -\sqrt{2}\,\pi)] = 2^{-1/4}\pi^{-1/2}\sqrt{\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\beta(\tfrac{3}{8})}</math>
<math>\vartheta_{01}[\exp( -3\sqrt{2}\,\pi)] = 2^{-1/4}3^{-1/2}\pi^{-1/2}\sqrt{\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\beta(\tfrac{3}{8})}\,\sqrt{\sqrt{3} + \sqrt{2}}</math>
<math>\vartheta_{01}[\exp( -\tfrac{1}{3}\sqrt{2}\,\pi)] = 2^{-1/4}\pi^{-1/2}\sqrt{\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\beta(\tfrac{3}{8})}\,\sqrt{\sqrt{3} - \sqrt{2}}</math>
<math>\vartheta_{01}[\exp( -5\sqrt{2}\,\pi)] = 2^{-1/4}5^{-1/2}\pi^{-1/2}\sqrt{\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\beta(\tfrac{3}{8})}\,\bigl\{\tfrac{4}{3}\sqrt{2}\cos(\tfrac{1}{10}\pi)\cosh[\tfrac{1}{3}\operatorname{artanh}(\tfrac{3}{8}\sqrt{6})]+\tfrac{1}{3}\tan(\tfrac{1}{5}\pi)\bigr\}</math>
<math>\vartheta_{01}[\exp( -\tfrac{1}{5}\sqrt{2}\,\pi)] = 2^{-1/4}\pi^{-1/2}\sqrt{\cos(\tfrac{1}{8}\pi)\beta(\tfrac{3}{8})}\,\bigl\{\tfrac{4}{3}\sqrt{2}\sin(\tfrac{1}{5}\pi)\cosh[\tfrac{1}{3}\operatorname{artanh}(\tfrac{3}{8}\sqrt{6})] - \tfrac{1}{3}\cot(\tfrac{1}{10}\pi)\bigr\}</math>

Некоторые тождества с рядами

Следующие два тождества для рядов доказал Иштван МезоШаблон:Sfn:

<math>\begin{align}

\vartheta_4^2(q)&=iq^{\frac14}\sum_{k=-\infty}^\infty q^{2k^2-k}\vartheta_1\left(\frac{2k-1}{2i}\ln q,q\right), \\[6pt] \vartheta_4^2(q)&=\sum_{k=-\infty}^\infty q^{2k^2}\vartheta_4\left(\frac{k\ln q}{i},q\right). \end{align}</math> Эти отношения выполняются для всех Шаблон:Math. Фиксируя значения Шаблон:Mvar, мы получим следующие свободные от параметров суммы

<math>\begin{align}

\sqrt{\frac{\pi\sqrt{e^\pi}}{2}}\cdot\frac{1}{\Gamma^2\left(\frac34\right)}&=i\sum_{k=-\infty}^\infty e^{\pi\left(k-2k^2\right)}\vartheta_1\left(\frac{i\pi}{2}(2k-1),e^{-\pi}\right), \\[6pt] \sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot\frac{1}{\Gamma^2\left(\frac34\right)}&=\sum_{k=-\infty}^\infty\frac{\vartheta_4\left(ik\pi,e^{-\pi}\right)}{e^{2\pi k^2}} \end{align}</math>

Нули тета-функций Якоби

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

<math>\begin{align}

\vartheta(z,\tau) = \vartheta_3(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau + \frac{1}{2} + \frac{\tau}{2} \\[3pt] \vartheta_1(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau \\[3pt] \vartheta_2(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau + \frac{1}{2} \\[3pt] \vartheta_4(z,\tau) &= 0 \quad &\Longleftrightarrow&& \quad z &= m + n \tau + \frac{\tau}{2} \end{align}</math>, где Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar являются произвольными целыми.

Связь с дзета-функцией Римана

Соотношение

<math>\vartheta\left(0;-\frac{1}{\tau}\right)=(-i\tau)^\frac12 \vartheta(0;\tau)</math>

использовал Риман для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана посредством преобразования Меллина

<math>\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) =

\frac{1}{2}\int_0^\infty\big(\vartheta(0;it)-1\big) t^\frac{s}{2}\frac{\mathrm{d}t}{t}</math> и можно показать, что преобразование инвариантно относительно замены Шаблон:Mvar на Шаблон:Math. Cоответствующий интеграл для Шаблон:Math дан в статье о дзета-функции Гурвица.

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса

Тета-функции использовал Якоби для построения (в виде, приспособленном для упрощения вычислений) его эллиптических функций как частные вышеприведённых четырёх тета-функций, и он мог их использовать также для построения эллиптических функций Вейерштрасса, поскольку

<math>\wp(z;\tau) = -\big(\log \vartheta_{11}(z;\tau)\big) + c</math>,

где вторая производная берётся по Шаблон:Mvar, а константа Шаблон:Mvar определена так, что ряд Лорана функции Шаблон:Math в точке Шаблон:Math имеет нулевой постоянный член.

Связь с Шаблон:Math-гамма функцией

Четвёртая тета-функция – а тогда и остальные – неразрывно связана с Шаблон:Не переведено 5 соотношениемШаблон:Sfn.

<math> \left(\Gamma_{q^2}(x)\Gamma_{q^2}(1-x)\right)^{-1}=\frac{q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)^3_\infty\left(q^2-1\right)}\vartheta_4\left(\frac{1}{2i}(1-2x)\log q,\frac{1}{q}\right). </math>

Связь с эта-функцией Дедекинда

Пусть <math>\eta(\tau)</math> — Шаблон:Не переведено 5, а аргумент тета-функции представлен как Шаблон:Не переведено 5 <math>q = e^{\pi{i}\tau}</math>. Тогда

<math>\begin{align}

\theta_2(0,q) = \vartheta_{10}(0;\tau) &= \frac{2\eta^2(2\tau)}{\eta(\tau)}, \\[3pt] \theta_3(0,q) = \vartheta_{00}(0;\tau) &= \frac{\eta^5(\tau)}{\eta^2\left(\frac{1}{2}\tau\right)\eta^2(2\tau)} = \frac{\eta^2\left(\frac{1}{2}(\tau+1)\right)}{\eta(\tau+1)}, \\[3pt] \theta_4(0,q) = \vartheta_{01}(0;\tau) &= \frac{\eta^2\left(\frac{1}{2}\tau\right)}{\eta(\tau)}, \end{align}</math>

и

<math>\theta_2(0,q)\,\theta_3(0,q)\,\theta_4(0,q) = 2\eta^3(\tau).</math>

См. также статью о модулярных функциях Вебера.

Эллиптический модуль

Шаблон:Не переведено 5 равен

<math>k(\tau) = \frac{\vartheta_{10}(0,\tau)^2 }{\vartheta_{00}(0,\tau)^2} </math>,

а дополнительный эллиптический модуль равен

<math>k'(\tau) = \frac{\vartheta_{01}(0,\tau)^2 }{\vartheta_{00}(0,\tau)^2} </math>

Решение теплового уравнения

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственными периодическими граничными условиямиШаблон:Sfn. Принимая <math>z = x</math> вещественным, а <math>\tau = it</math> с вещественным и положительным Шаблон:Mvar, мы можем записать

<math>\vartheta (x,it)=1+2\sum_{n=1}^\infty \exp\left(-\pi n^2 t\right) \cos(2\pi nx)</math>,

что решает уравнение теплопроводности

<math>\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \vartheta(x,it).</math>

Это решение в виде тета-функции является 1-периодическим по Шаблон:Mvar, и при <math>t \to 0</math> оно стремится к периодической дельта-функции или гребню Дирака в смысле распределений

<math>\lim_{t\rightarrow 0} \vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n)</math>.

Общие решения для задачи с пространственными периодическими начальными значениями для уравнения теплопроводности могут быть получены путём свёртки начальных данных в <math>t = 0</math> с тета-функцией.

Связь с группой Гейзенберга

Тета-функция Якоби является инвариантом при действии дискретной подгруппы группы Гейзенберга. Эта инвариантность представлена в статье о Шаблон:Не переведено 5 группы Гейзенберга.

Обобщения

Если Шаблон:Mvar является квадратичной формой от Шаблон:Mvar переменных, то тета-функция, связанная с Шаблон:Mvar, равна

<math>\theta_F (z)= \sum_{m\in \mathbb{Z}^n} e^{2\pi izF(m)}</math>

с суммой по решётке целых чисел Шаблон:Math. Эта тета-функция является модулярной формой с весом <math>\tfrac{n}{2}</math> (на надлежащим образом определённой подгруппе) модулярной группы. В разложении в ряд Фурье

<math>\hat{\theta}_F (z) = \sum_{k=0}^\infty R_F(k) e^{2\pi ikz},</math>

числа <math>R_F(k)</math> называются числами представления формы.

Тета-функция Рамануджана

Шаблон:Основная статья

Риманова тета-функция

Пусть

<math>\mathbb{H}_n=\left\{F\in M(n,\mathbb{C}) \,\big|\, F=F^\mathsf{T} \,,\, \operatorname{Im} F >0 \right\}</math>

является множеством симметричных квадратных матриц, мнимая часть которых положительно определена. Шаблон:Math называется Шаблон:Не переведено 5 и является многомерным аналогом верхней полуплоскости. Шаблон:Mvar-Мерным аналогом модулярной группы является симплектическая группа Шаблон:Math. Для <math>n = 1EducationBot (обсуждение)\mathrm{Sp}(2, \mathbb{Z}) = \mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})</math>. Роль Шаблон:Mvar-мерного аналога конгруэнтных подгрупп играет

<math>\ker \big\{\operatorname{Sp}(2n,\mathbb{Z})\rightarrow \operatorname{Sp}(2n,\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}) \big\}.</math>

Тогда, если дано <math>\tau \in \mathbb{H}_n</math>, тета-функция Римана определяется как

<math>\theta (z,\tau)=\sum_{m\in \mathbb{Z}^n} \exp\bigg(2\pi i

\left(\tfrac12 m^\mathsf{T} \tau m +m^\mathsf{T} z \right)\bigg). </math>

Здесь <math>z \in \mathbb{C}_n</math> является Шаблон:Mvar-мерным комплексным вектором, а верхний индекс T означает транспонирование. Тета-функция Якоби является тогда частным случаем с <math>n = 1</math> и <math>\tau \in \mathbb{H}</math>, где <math>\mathbb{H}</math> является верхней полуплоскостью.

Тета-функция Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах <math>\mathbb{C}^n \times \mathbb{H}_n</math>.

Функциональное уравнение функции

<math>\theta (z+a+\tau b, \tau) = \exp 2\pi i \left(-b^\mathsf{T}z-\tfrac12 b^\mathsf{T}\tau b\right) \theta (z,\tau)</math>

которое выполняется для всех векторов <math>a, b \in \mathbb{Z}^n</math> и для всех <math>z \in \mathbb{C}^n</math>}} и <math>\tau \in \mathbb{H}_n</math>.

Ряд Пуанкаре

Шаблон:Не переведено 5 обобщает тета-ряд на автоморфные формы применительно к произвольным фуксовым группам.

Уравнения пятой степени

Решение формы Бринга-Джеррарда

Согласно Теореме Абеля-Руффини общее уравнение пятой степени не может быть решено в элементарной радикальной форме. Но общее решение вполне возможно с помощью эллиптических функций. С тета-функцией общий случай Уравнения пятой степени также может быть решен как функция эллиптического «номена q» из эллиптического модуля, который всегда «элементарен» в зависимости от коэффициентов. Для следующего уравнения пятой степени в форме Бринга-Джеррарда общее решение может быть представлено в упрощенной форме тета-функцией ϑ₀₀:

<math>x^5 + 5\,x = 4\,c</math>

Для всех реальных значений <math>c</math> имеет показанную сумму функции пятой степени и идентичную функцию отображения для <math>x</math> в зависимости от <math>c</math> точно реальное решение. И это фактическое решение <math>x</math> может для всех действительных значений <math>c</math> может быть вызвано точно по следующему алгоритму:

Método de resolución de las ecuaciones quínticas a través de la función theta
Уравнение Бринга – Джеррарда:

<math>x^5 + 5\,x = 4\,c</math>

Значение эллиптической функции «Номен q»:

<math>Q = q\bigl[\bigl(2c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr]</math>

Актуальное решение для <math>x</math>:

<math>x = \frac{\bigl[\vartheta_{00}(Q^{1/5})^2 - 5\,\vartheta_{00}(Q^5)^2\bigr]\sqrt{\vartheta_{00}(Q^{1/5})^2 + 5\,\vartheta_{00}(Q^5)^2 - 4\,\vartheta_{00}(Q)^2 - 2\,\vartheta_{00}(Q^{1/5})\,\vartheta_{00}(Q^5)}}{4\,\vartheta_{10}(Q)\,\vartheta_{01}(Q)\,\vartheta_{00}(Q)} </math>

Три примера расчета

Ниже в качестве примеров рассматриваются три уравнения, которые можно решить с помощью тета-функции Якоби, но вообще нельзя решить с помощью элементарных корневых выражений:

<math>x^5 + 5\,x = \frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt[4]{7}}</math>
<math>Q = q\bigl[\bigl(2c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr]\bigl(c = \frac{1}{4\,\sqrt{3}\,\sqrt[4]{7}}\bigr) = q\bigl(\frac{3}{4}\bigr) = \exp\bigl[-\pi \,K\bigl(\frac{1}{4}\sqrt{7}\bigr)/K\bigl(\frac{3}{4}\bigr)\bigr]</math>
<math>Q \approx 0.0514850134086884874259334407034142264</math>
<math>x = \frac{\bigl\{\vartheta_{00}[q(\tfrac{3}{4})^{1/5}]^2 - 5\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{3}{4})^5]^2\bigr\}\sqrt{\vartheta_{00}[q(\tfrac{3}{4})^{1/5}]^2 + 5\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{3}{4})^5]^2 - 4\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{3}{4})]^2 - 2\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{3}{4})^{1/5}]\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{3}{4})^5]}}{4\,\vartheta_{10}[q(\tfrac{3}{4})]\,\vartheta_{01}[q(\tfrac{3}{4})]\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{3}{4})]} </math>
<math>x \approx 0.07098926054715586207235133755965679 </math>

Тот же образец процедуры применяется в следующем уравнении:

<math>x^5 + 5\,x = \frac{17}{2\,\sqrt{7}\,\sqrt[4]{15}}</math>
<math>Q = q\bigl[\bigl(2c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr]\bigl(c = \frac{17}{8\,\sqrt{7}\,\sqrt[4]{15}}\bigr) = q\bigl(\frac{7}{8}\bigr) = \exp\bigl[-\pi \,K\bigl(\frac{1}{8}\sqrt{15}\bigr)/K\bigl(\frac{7}{8}\bigr)\bigr]</math>
<math>Q \approx 0.0897074766759280367958684244396699245</math>
<math>x = \frac{\bigl\{\vartheta_{00}[q(\tfrac{7}{8})^{1/5}]^2 - 5\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{7}{8})^5]^2\bigr\}\sqrt{\vartheta_{00}[q(\tfrac{7}{8})^{1/5}]^2 + 5\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{7}{8})^5]^2 - 4\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{7}{8})]^2 - 2\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{7}{8})^{1/5}]\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{7}{8})^5]}}{4\,\vartheta_{10}[q(\tfrac{7}{8})]\,\vartheta_{01}[q(\tfrac{7}{8})]\,\vartheta_{00}[q(\tfrac{7}{8})]} </math>
<math>x \approx 0.32576169530959133227592078784586937 </math>

Это третий пример:

<math>x^5 + 5\,x = 4</math>
<math>Q = q\bigl[\bigl(2c^2 + 2 + 2\sqrt{c^4 + 1}\bigr)^{-1/2}\bigl(\sqrt{\sqrt{c^4 + 1} + 1} + c\bigr)\bigr]\bigl(c = 1\bigr) = q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8}\bigr)\bigr]</math>
<math>Q \approx 0.18520287008030014142515182307361246060360377625</math>
<math>x = \frac{\vartheta_{00}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]^{1/5}\}^2 - 5\,\vartheta_{00}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]^5\}^2}{4\,\vartheta_{10}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]\}\,\vartheta_{01}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]\}\,\vartheta_{00}\{q\bigl[\frac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\frac{\pi}{8})\bigr]\}} \times </math>
<math>\times \sqrt{\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^{1/5}\}^2 + 5\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^5\}^2 - 4\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]\}^2 - 2\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^{1/5}\}\,\vartheta_{00}\{q\bigl[\tfrac{\sqrt[4]{2}}{2} + \sin(\tfrac{\pi}{8})\bigr]^5\}} </math>
<math>x \approx 0.75192639869405948026865366345020738740978383913 </math>

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Литература для дальнейшего чтения

  • Jonathan Borwein und Peter Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987. pages 94–97.
  • Jonathan Borwein, Peter Borwein: Theta Functions and the Arithmetic-Geometric Mean Iteration. Ch. 2 in Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, pages 33–61, 1987.
  • Nickos Papadatos: The characteristic function of the discrete Cauchy distribution. Kapodistrias-Universität Athen, 2018, Arxiv.
  • Srinivasa Ramanujan: Modular Equations and Approximations to π. Quart. J. Pure. Appl. Math. Volumen 45, 350–372, 1913–1914.
  • Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Arxiv 2015.
  • Jinhee Yi: Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, Band 292, Nr. 2, 2004, pages 381–400.
  • G. P. Young: Solution of Solvable Irreducible Quintic Equations, Without the Aid of a Resolvent Sextic. In: Amer. J. Math. Band 7, pages 170–177, 1885.
  • C. Runge: Über die auflösbaren Gleichungen von der Form. In: Acta Math. Volume 7, pages 173–186, 1885, doi:10.1007/BF02402200.
  • F. Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus. N. 11. Mars. 1858. doi:10.1007/bf03197334 (zenodo.org).

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Тета-функция&oldid=10925093