Русская Википедия:Тетрация

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тетра́ция (гиперопера́тор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном в 1947 году.

Определения

Тетрация как степенная башня

Для любого положительного вещественного числа <math>a>0</math> и неотрицательного целого числа <math>n\geqslant 0</math>, тетрацию <math>{}^na</math> можно определить рекуррентно:

• <math>{}^0a=1,</math>
• <math>{}^na=a^{({}^{n-1}a)},\,n>0.</math>

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

<math>{}^42=2^{2^{2^2}}=2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}=2^{(2^4)}=2^{16}=65536.</math>

Или:

<math>{}^52=2^{2^{2^{2^2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}\right)}=2^{(2^{16})}=2^{65536}.</math>

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

<math>2^{2^{2^2}}\ne\left((2^2)^2\right)^2=2^{2\cdot2\cdot2}=2^8=256.</math>

Или:

<math>2^{2^{2^{2^2}}}\ne\left(((2^2)^2)^2\right)^2=2^{2\cdot2\cdot2\cdot2}=2^{16}=65536.</math>

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху вниз (или справа налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператор

Файл:InfinitePowerTower.gif

<math>\scriptstyle{\lim\limits_{n\to\infty}{^n x}}</math>. Бесконечное возведение в степень для основания <math>\scriptstyle{(1/e)^e\leqslant x\leqslant e^{1/e}}</math>.

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

1. сложение:

   <math>a+b=a+\underbrace{1+1+\ldots+1}_b;</math>

2. умножение:

   <math>a\times b=\underbrace{a+a+\ldots+a}_b;</math>

3. возведение в степень:

   <math>a^b=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_b;</math>

4. тетрация:

   <math>{^b a}=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_b.</math>

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

Свойства

• Тетрация не считается элементарной функцией (за исключением случаев с постоянным натуральным показателем, когда тетрация выражается в виде степенной башни постоянной высоты).
• В силу некоммутативности тетрация имеет две обратных операции — суперлогарифм и суперкорень (аналогично тому, как возведение в степень имеет две обратные функции: арифметический корень и логарифм).

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

• <math>{}^b({}^ca)\neq {}^c({}^ba)</math>, например: <math>{}^3({}^{2}2)=({}^{2}2)^{({}^{2}2)^{({}^{2}2)}}=4^{4^4}=4^{256}</math>, но <math>{}^2({}^{3}2)=({}^{3}2)^{({}^{3}2)}=16^{16}=4^{32}</math>.
• <math>{}^{b+c}a</math> не равно ни <math>{}^ba+{}^ca</math>, ни <math>{}^ba\times {}^ca</math>, например: <math>{}^{1+2}3={}^{3}3=3^{27}\neq{}^{1}3+{}^{2}3\neq {}^{1}3\times {}^{2}3</math>, так как <math>{}^{1}3+{}^{2}3=30; {}^{1}3\times{}^{2}3=81</math>.

Примечание: однако, верно <math>\underbrace{\log_a {\log_a{...{\log_a}}}}_b{({}^{b+c}a)}={}^ca </math> или <math>\underbrace{\log_a {\log_a{...{\log_a}}}}_c{({}^{b+c}a)}={}^ba </math>.

• Тетрация минус единицы равна минус единице:

<math>{^n(-1)}=\underbrace{(-1)^{(-1)^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{(-1)}}}}}}_n=-1, n>0</math>

Терминология

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

• Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (Шаблон:Lang-en) «Infinity and the Mind».
• Термин «супервозведение в степень» (Шаблон:Lang-en) был опубликован Бромером (Шаблон:Lang-en) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году. Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (Шаблон:Lang-en) в его книге «Предикативная Арифметика» (Шаблон:Lang-en).
• Термин «гиперстепень» (Шаблон:Lang-en) есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
• Термин «степенная башня» (Шаблон:Lang-en) иногда используется, в форме «степенная башня порядка <math>n</math>» для <math>\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}}_n</math>.

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма	Терминология
<math>a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^a}}}}</math>	Тетрация
<math>a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}}</math>	Итерационные экспоненты
<math>a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}}}</math>	Вложенные экспоненты (также башни)
<math>a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}}</math>	Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях <math>a</math> есть основание, и количество появляющихся <math>a</math> есть высота. В третьем выражении, <math>n</math> есть высота, но все основания разные.

Обозначения

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	<math>{}^na</math>	Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута	<math>a{\uparrow\uparrow}n</math>	Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея	<math>a\to n\to 2</math>	Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана	<math>{}^n2=\mathrm{A}(4,\;n-3)+3</math>	Допускает особый случай <math>a=2</math> в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи	<math>{}^na=\exp_a^n(1)</math>	Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (Шаблон:Lang-en)	<math>\mathrm{uxp}_a n,\quad a^\frac{n}{}</math>
Система записи гипероператорами	<math>a^{(4)}n,\quad\mathrm{hyper}_4(a,\;n)</math>	Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII	a^^n	Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда	{a, b,2}	{a, b, c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

<math>\exp_a^n(x)=\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}}}}_n.</math>

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя	Форма	Описание
Стандартная форма записи	<math>\exp_a^n(x)</math>	Система записи <math>\exp_a(x)=a^x</math> и итерационная система записи <math>f^n(x)</math> была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута	<math>(a{\uparrow})^n(x)</math>	Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация	E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (Шаблон:Lang-en)	<math>{}^n(a,\;x)</math>	Допускает использование больших выражений в основании.
ASCII (добавочный)	a^^n@x	Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный)	exp_a^n(x)	Основана на стандартной форме записи.

Примеры

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (то есть <math>3^{3^{3^3}}</math>) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, Шаблон:OEIS.

<math>x</math>	<math>{}^2x</math>	<math>{}^3x</math>	<math>{}^4x</math>
1	1	1	1
2	4	16	65 536
3	27	7 625 597 484 987	<math>\exp_{10}^3(1{,}09902)</math>
4	256	<math>\exp_{10}^2(2{,}18788)</math>	<math>\exp_{10}^3(2{,}18726)</math>
5	3 125	<math>\exp_{10}^2(3{,}33931)</math>	<math>\exp_{10}^3(3{,}33928)</math>
6	46 656	<math>\exp_{10}^2(4{,}55997)</math>	<math>\exp_{10}^3(4{,}55997)</math>
7	823 543	<math>\exp_{10}^2(5{,}84259)</math>	<math>\exp_{10}^3(5{,}84259)</math>
8	16 777 216	<math>\exp_{10}^2(7{,}18045)</math>	<math>\exp_{10}^3(7{,}18045)</math>
9	387 420 489	<math>\exp_{10}^2(8{,}56784)</math>	<math>\exp_{10}^3(8{,}56784)</math>
10	10 000 000 000	<math>\exp_{10}^3(1)</math>	<math>\exp_{10}^4(1)</math>

Открытые проблемы

• Неизвестно, может ли <math>{^n q}</math> быть рациональным числом, если <math>n</math> — целое число, большее 3, а <math>q</math> — рациональное, но не целое число (для <math>n=2,\,3</math> ответ отрицателен).
• Ни для какого целого <math>n>3</math> неизвестно, является ли положительный корень уравнения <math>{^n x}=2</math> рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

Ссылки

• Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
• Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
• Форум по обсуждению тетрации.
• Шаблон:Статья