Русская Википедия:Тетраэдр

Тетраэдр

Тетра́эдр (Шаблон:Lang-grc «четырёхгранник»^[1] ← Шаблон:Lang-grc2 «четыре» + Шаблон:Lang-grc2 «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника^[2].

Тетраэдр является треугольной пирамидой при принятии любой из граней за основание. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Свойства

Параллельные плоскости, проходящие через три пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части^[3]Шаблон:Rp.

Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра.
- Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).

Центры сфер, которые проходят через три вершины и инцентр, лежат на сфере, центр которой совпадает с центром описанной сферы.
- Также это утверждение верно и для внешних инцентров.

Плоскости, которые проходят через середину ребра и перпендикулярны противоположному ребру,пересекаются в одной точке (ортоцентр).
- Ортоцентр в симплексе определяется как пересечение гиперплоскостей, которые перпендикулярны ребру и проходят через центр тяжести противоположного элемента.

Центр сферы(F),которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра, центр тяжести тетраэдра(M), центр описанной сферы(R) и ортоцентр (H) лежат на одной прямой. При этом <math>RM=MH=3\cdot MF</math>.

Центр сферы (S) вписанный в дополнительный тетраэдр,центр сферы (N) вписанный в антидополнительный тетраэдр, центр тяжести тетраэдра (M) и центр вписанной сферы (I) лежат на одной прямой.

Пусть точка G₁ делит отрезок соединяющий ортоцентр(H) и вершину 1 в отношении 1:2. Опустим перпендикуляр с точки G₁ на грань противолежащей вершине 1. Перпендикуляр пересекает грань в точке W₁. Точки G₁ и W₁ лежат на сфере (сфере Фейербаха), которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра.

Сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер тетраэдра, является параллелограммом.

Типы тетраэдров

Равногранный тетраэдр

Файл:Medial Triangle.svg

Развёртка равногранного тетраэдра

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Развёрткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделённый тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

Все его грани равны (конгруэнтны).
Скрещивающиеся рёбра попарно равны.
Трёхгранные углы равны.
Противолежащие двугранные углы равны.
Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Развёртка тетраэдра — треугольник или параллелограмм.
Описанный параллелепипед прямоугольный.
Тетраэдр имеет три оси симметрии.
Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
Средние линии попарно перпендикулярны.
Периметры граней равны.
Площади граней равны.
Высоты тетраэдра равны.
Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
Радиусы описанных около граней окружностей равны.
Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням) равна нулю.
Сумма всех двугранных углов равна нулю.
Центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере.

Ортоцентрический тетраэдр

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
Суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны.
Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, равны.
Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных рёбер.
У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере (сфере 12 точек).

Прямоугольный тетраэдр

Все рёбра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой. Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда.

Каркасный тетраэдр

Это тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий^[4]:

существует сфера, касающаяся всех рёбер,
суммы длин скрещивающихся рёбер равны,
суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны,
окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, — описанные,
перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр

У этого типа бивысоты равны.

Свойства соразмерного тетраэдра:

Бивысоты равны. Бивысотами тетраэдра называют общие перпендикуляры к двум скрещивающимся его рёбрам (рёбрам, не имеющим общих вершин).
Проекция тетраэдра на плоскость, перпендикулярную любой бимедиане, есть ромб. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).
Грани описанного параллелепипеда равновелики.
Выполняются соотношения: <math> 4a^2{a_1}^2- (b^2+{b_1}^2-c^2-{c_1}^2)^2=4b^2{b_1}^2- (c^2+{c_1}^2-a^2-{a_1}^2)^2=4c^2{c_1}^2- (a^2+{a_1}^2-b^2-(b_1)^2)^2</math>, где <math>a</math> и <math>a_1</math>, <math>b</math> и <math>b_1</math>, <math>c</math> и <math>c_1</math> — длины противоположных рёбер.
Для каждой пары противоположных рёбер тетраэдра плоскости, проведённые через одно из них и середину второго, перпендикулярны.
В описанный параллелепипед соразмерного тетраэдра можно вписать сферу.

Инцентрический тетраэдр

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. Свойства инцентрического тетраэдра:

Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка — центр тяжести тетраэдра.
Замечание. Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров — инцентрических.
Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Биссектрисы углов двух граней, проведённому к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
Произведения длин противоположных рёбер равны.
Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трёх рёбер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих рёбер, является равносторонним.

Правильный тетраэдр

Это равногранный тетраэдр, у которого все грани — правильные треугольники. Является одним из пяти платоновых тел.

Свойства правильного тетраэдра:

все рёбра тетраэдра равны между собой,
все грани тетраэдра равны между собой,
периметры и площади всех граней равны между собой.
Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный.
В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причём рёбра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше рёбер правильного тетраэдра.
Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
Правильный тетраэдр можно вписать в додекаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами додекаэдра.
Скрещивающиеся рёбра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Объём тетраэдра

Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках <math>\mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1),</math> <math>\mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2),</math> <math>\mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3),</math> <math>\mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4),</math> равен

<math>V = \frac16

\begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix} = \frac16 \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1& z_2 - z_1\\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1& z_3 - z_1\\ x_4 - x_1 & y_4 - y_1& z_4 - z_1 \end{vmatrix},</math> или

где <math>S</math> — площадь любой грани, а <math>H</math> — высота, опущенная на эту грань.

Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:

<math>288 \cdot V^2 =

\begin{vmatrix}

 0 & 1        & 1        & 1        & 1        \\
 1 & 0        & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 \\
 1 & d_{12}^2 & 0        & d_{23}^2 & d_{24}^2 \\
 1 & d_{13}^2 & d_{23}^2 & 0        & d_{34}^2 \\
 1 & d_{14}^2 & d_{24}^2 & d_{34}^2 & 0

\end{vmatrix}.</math>

Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b, как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол <math> \phi </math>, находится по формуле:

Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a, b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы <math> \alpha, \beta, \gamma </math>, находится по формуле^[5]

где <math display="block"> D= \begin{vmatrix}

 1 & \cos \gamma  & \cos \beta \\
 \cos \gamma & 1 & \cos \alpha \\
 \cos \beta & \cos \alpha & 1         
\end{vmatrix}.</math>

Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол <math> \gamma </math>:

где <math> D= \begin{vmatrix}

 1 & \cos \gamma  \\
 \cos \gamma & 1 \\
\end{vmatrix}.</math>

Замечание

Есть аналог формулы Герона для объёма тетраэдра ^[6]

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве

Обозначения:

<math>\mathbf{r}_1 (x_1,y_1,z_1),</math> <math>\mathbf{r}_2 (x_2,y_2,z_2),</math><math>\mathbf{r}_3 (x_3,y_3,z_3),</math><math>\mathbf{r}_4 (x_4,y_4,z_4)</math> — координаты вершин тетраэдра.

Объём тетраэдра (с учётом знака):

<math>V = \frac16 \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 & z_1 \\ 1 & x_2 & y_2 & z_2 \\ 1 & x_3 & y_3 & z_3 \\ 1 & x_4 & y_4 & z_4 \end{vmatrix} </math>.

Координаты центра тяжести (пересечение медиан): <math>\mathbf{r}_T (x_T,y_T,z_T)</math>

Координаты центра вписанной сферы: <math>\mathbf{r}_r (x_r,y_r,z_r)</math>

где <math>S_1 </math> — площадь грани, противолежащей первой вершине, <math>S_2 </math> — площадь грани, противолежащей второй вершине и так далее.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой вершине:

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой и второй вершинам (количество таких сфер может варьироваться от нуля до трёх):

Уравнение описанной сферы:

<math>\begin{vmatrix} x^2+ y^2+z^2& x & y & z & 1 \\ x_1^2+ y_1^2+z_1^2& x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2^2+ y_2^2+z_2^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3^2+ y_3^2+z_3^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4^2+ y_4^2+z_4^2 & x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix}=0. </math>

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

Обозначения:

<math>\mathbf{J} (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\alpha_1 \mathbf{J_1}+\alpha_2 \mathbf{J_2}+\alpha_3 \mathbf{J_3}+\alpha_4 \mathbf{J_4},</math> — барицентрические координаты.

Объём тетраэдра (с учётом знака): Пусть <math>\mathbf{J}_1 (x_1,y_1,z_1,t_1),\mathbf{J}_2 (x_2,y_2,z_2,t_2),\mathbf{J}_3 (x_3,y_3,z_3,t_3),\mathbf{J}_4 (x_4,y_4,z_4,t_4).</math> — координаты вершин тетраэдра.

Тогда

<math>V=\frac{\begin{vmatrix}

 x_1 & y_1 & z_1 & t_1 \\
 x_2 & y_2 & z_2 & t_2\\
 x_3 & y_3 & z_3 & t_3 \\
 x_4 & y_4 & z_4 & t_4 \\

\end{vmatrix} }{(x_1 + y_1 + z_1 + t_1)(x_2 + y_2 + z_2 + t_2)(x_3 + y_3 + z_3 + t_3)(x_4 + y_4 + z_4 + t_4)}V' ,</math> где <math>V'</math> — объем базисного тетраэдра.

Координаты центра тяжести (пересечение медиан): <math>\mathbf{J}_T (1,1,1,1).</math>

Координаты центра вписанной сферы: <math>\mathbf{J}_r (S_1,S_2,S_3,S_4).</math>

Координаты центра описанной сферы:

<math>\mathbf{J}_R= \begin{vmatrix}

 0 & \mathbf{J_1}        & \mathbf{J_2}       & \mathbf{J_3}        & \mathbf{J_4}        \\
 1 & 0 & \alpha _{2,1}^2 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{4,1}^2 \\
1 & \alpha _{2,1}^2 & 0 & \alpha _{3,2}^2 & \alpha _{4,2}^2 \\
1 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{3,2}^2 & 0 & \alpha _{4,3}^2 \\
1 & \alpha _{4,1}^2 & \alpha _{4,2}^2 & \alpha _{4,3}^2 & 0 \\

\end{vmatrix}.</math>

Расстояние между точками <math>\mathbf{J}_A (A_1,A_2,A_3,A_4),\mathbf{J}_B (B_1,B_2,B_3,B_4)</math>:

Пусть <math> C_1=\frac{A_1}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_1}{B_1+B_2+B_3+B_4}; C_2=\frac{A_2}{A_1+A_2+A_3+A_4}-\frac{B_2}{B_1+B_2+B_3+B_4} </math> и так далее.

Тогда расстояние между двумя точками: <math>d^2=-(C_1 C_2 \alpha _{1,2}^2 + C_1 C_3 \alpha _{1,3}^2+C_1 C_4 \alpha _{1,4}^2+C_2 C_3 \alpha _{2,3}^2+C_2 C_4\alpha _{2,4}^2+C_3 C_4 \alpha _{3,4}^2).</math>

Сравнение формул треугольника и тетраэдра

Площадь(Объём)
<math>S=\sqrt{-\frac{1}{16}\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a^2 & b^2 \\ 1 & a^2 & 0 & c^2 \\ 1 & b^2 & c^2 & 0 \\ \end{vmatrix}}</math> \|\| <math>V=\sqrt{\frac{1}{288}\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha _{2,1}^2 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{4,1}^2 \\ 1 & \alpha _{2,1}^2 & 0 & \alpha _{3,2}^2 & \alpha _{4,2}^2 \\ 1 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{3,2}^2 & 0 & \alpha _{4,3}^2 \\ 1 & \alpha _{4,1}^2 & \alpha _{4,2}^2 & \alpha _{4,3}^2 & 0 \\ \end{vmatrix}}</math>, где <math>\alpha _{1,2}</math> — расстояние между вершинами 1 и 2
<math>S=\frac {1}{2} a h_{a} </math>	<math>V=\frac {1}{3} S_1 H_{1} </math>
<math>S=\frac {1}{2} ab \sin \gamma</math>	<math>V=\frac {2}{3} \frac {S_1 S_2}{\alpha _{3,4}} \sin (\phi _{1,2}) </math>, где <math>\phi _{1,2}</math> — угол между гранями 1 и 2, <math> S_1</math> и <math> S_2 </math> — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2
Длина(площадь) биссектрисы
<math>l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}</math>	<math>L_{1,2}=\frac{2 S_1 S_2 \cos(\frac{\phi _{1,2}}{2})}{S_1+S_2}</math>
Длина медианы
<math>m_c =\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}</math>	<math>m_1=\frac{ \sqrt{3 (\alpha _{1,2}^2+\alpha _{1,3}^2+\alpha _{1,4}^2)-(\alpha _{2,3}^2+\alpha _{2,4}^2+\alpha _{3,4}^2)}}{3}</math>
Радиус вписанной окружности(сферы)
<math>r=\frac{2S}{a+b+c}</math>	<math>r=\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}</math>
Радиус описанной окружности(сферы)
<math>R = \frac {abc}{4S}</math>	<math>R=\frac{S_T}{6 V}</math>, где <math>S_T</math> — площадь треугольника со сторонами <math>\alpha _{1,2} \alpha _{3,4}, \alpha _{1,3} \alpha _{2,4}, \alpha _{1,4} \alpha _{2,3}</math>
Теорема косинусов
<math>\cos{\alpha} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} </math>	<math>\cos (\phi _{1,2})=\frac{A_{1,2}}{16 S_1 S_2}</math>, где <math>\phi _{1,2}</math> — угол между гранями 1 и 2, <math> S_1</math> и <math> S_2 </math> — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2, <math>A_{1,2}</math> — алгебраическое дополнение элемента <math>\alpha _{2,1}^2</math> матрицы <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha _{2,1}^2 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{4,1}^2 \\ 1 & \alpha _{2,1}^2 & 0 & \alpha _{3,2}^2 & \alpha _{4,2}^2 \\ 1 & \alpha _{3,1}^2 & \alpha _{3,2}^2 & 0 & \alpha _{4,3}^2 \\ 1 & \alpha _{4,1}^2 & \alpha _{4,2}^2 & \alpha _{4,3}^2 & 0 \\ \end{pmatrix}</math>
Теорема синусов
<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>	<math> \frac{S_1}{\Psi_1}=\frac{S_2}{\Psi _2}=\frac{S_3}{\Psi_3}=\frac{S_4}{\Psi _4}</math>, где <math> S_1, S_2, S_3, S_4</math> — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4, <math>\Psi =\sqrt{ \begin{vmatrix} 1 & -\cos (A) & -\cos (B) \\ -\cos (A) & 1 & -\cos (C) \\ -\cos (B) & -\cos (C) & 1 \\ \end{vmatrix}}</math>, где <math>A, B, C</math> — двугранные углы вершины.
Теорема о сумме углов треугольника(соотношение между двугранными углами тетраэдра)
<math>\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ</math>	<math>\begin{vmatrix} 1 & -\cos \left(\phi _{2,1}\right) & -\cos \left(\phi _{3,1}\right) & -\cos \left(\phi _{4,1}\right) \\ -\cos \left(\phi _{2,1}\right) & 1 & -\cos \left(\phi _{3,2}\right) & -\cos \left(\phi _{4,2}\right) \\ -\cos \left(\phi _{3,1}\right) & -\cos \left(\phi _{3,2}\right) & 1 & -\cos \left(\phi _{4,3}\right) \\ -\cos \left(\phi _{4,1}\right) & -\cos \left(\phi _{4,2}\right) & -\cos \left(\phi _{4,3}\right) & 1 \\ \end{vmatrix}=0</math>, где <math>\phi _{1,2}</math> — угол между гранями 1 и 2
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (сфер)
<math>R^2 - d^2 = 2Rr</math>	<math> R^2 - d^2 = \frac{S_1 S_2 \alpha _{1,2}^2+S_1 S_3 \alpha _{1,3}^2+S_1 S_4 \alpha _{1,4}^2+S_2 S_3 \alpha _{2,3}^2+S_2 S_4 \alpha _{2,4}^2+S_3 S_4 \alpha _{3,4}^2}{(S_1+S_2+S_3+S_4)^2}</math>, где <math> S_1, S_2, S_3, S_4</math> — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4. Другая запись выражения: <math>R^2 - d^2 = 2rT,</math> где <math>T</math> — расстояние между центром описанной сферы и центром сферы, проходящая через три вершины и инцентр.

Тетраэдр в неевклидовых пространствах

Объём неевклидовых тетраэдров

Существует множество формул нахождения объёма неевклидовых тетраэдров. Например, формула Деревнина — Медных^[7] для гиперболического тетраэдра и формула Дж. Мураками^[8] для сферического тетраэдра. Объём тетраэдра в сферическом пространстве и в пространстве Лобачевского, как правило, не выражается через элементарные функции.

Соотношение между двугранными углами тетраэдра

<math>\operatorname{det}\Psi > 0</math> — для сферического тетраэдра.

<math>\operatorname{det}\Psi < 0</math> — для гиперболического тетраэдра.

Где <math>\Psi = \begin{pmatrix}

 1 & -\cos (A_{2,1}) & -\cos (A_{3,1}) & -\cos (A_{4,1}) \\
 -\cos (A_{2,1}) & 1 & -\cos (A_{3,2}) & -\cos (A_{4,2}) \\
 -\cos (A_{3,1}) & -\cos (A_{3,2}) & 1 & -\cos (A_{4,3}) \\
 -\cos (A_{4,1}) & -\cos (A_{4,2}) & -\cos (A_{4,3}) & 1 \\

\end{pmatrix}</math> — матрица Грама для двугранных углов сферического и гиперболического тетраэдра.

<math>A_{i,j}</math> — угол между гранями, противолежащими i и j вершине.

Теорема косинусов

<math>\cos (A_{i,j})=-\frac{\Phi_{i,j}}{ \sqrt{\Phi_{i,i}\Phi_{j,j}} }</math> — для сферического и гиперболического тетраэдра.

<math>\cos (\alpha_{i,j})=\frac{\Psi_{i,j}}{ \sqrt{\Psi_{i,i}\Psi_{j,j}} }</math> — для сферического тетраэдра.

<math>\operatorname{ch}(\alpha_{i,j})=\frac{\Psi_{i,j}}{ \sqrt{\Psi_{i,i}\Psi_{j,j}} }</math> — для гиперболического тетраэдра.

Где <math>\Phi = \begin{pmatrix}

 1 & \cos (\alpha_{2,1}) & \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{4,1}) \\
 \cos (\alpha_{2,1}) & 1 & \cos (\alpha_{3,2}) & \cos (\alpha_{4,2}) \\
 \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{3,2}) & 1 & \cos (\alpha_{4,3}) \\
 \cos (\alpha_{4,1}) & \cos (\alpha_{4,2}) & \cos (\alpha_{4,3}) & 1 \\

\end{pmatrix}</math> — матрица Грама для приведённых рёбер сферического тетраэдра.

<math>\Phi = \begin{pmatrix}

 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) \\
 \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & 1 & \operatorname{ch} (\alpha_{3,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) \\
 \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,2}) & 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) \\
 \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) & 1 \\

\end{pmatrix}</math> — матрица Грама для приведённых рёбер гиперболического тетраэдра.

<math>\alpha_{i,j}</math> — приведенное расстояние между i и j вершин.

<math>\Psi_{i,j}</math> — алгебраическое дополнение матрицы <math>\Psi</math>.

Теорема синусов

<math>\frac{\Phi_{1,1}}{\Psi_{1,1}}=\frac{\Phi_{2,2}}{\Psi_{2,2}}=\frac{\Phi_{3,3}}{\Psi_{3,3}}=\frac{\Phi_{4,4}}{\Psi_{4,4}}</math> — для сферического и гиперболического тетраэдра.

Радиус описанной сферы

<math> \begin{vmatrix}

 1 & \cos (\alpha_{2,1}) & \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{4,1}) &1 \\
 \cos (\alpha_{2,1}) & 1 & \cos (\alpha_{3,2}) & \cos (\alpha_{4,2}) &1 \\
 \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{3,2}) & 1 & \cos (\alpha_{4,3}) &1 \\
 \cos (\alpha_{4,1}) & \cos (\alpha_{4,2}) & \cos (\alpha_{4,3}) & 1 &1 \\
1 & 1 & 1 & 1 & \frac{1}{\cos^2 (R)} \\

\end{vmatrix}=0</math> — для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения: <math> \frac{1}{\cos (R)}=\frac{ |\sqrt{\Phi_{1,1}}\overrightarrow{n_1}+\sqrt{\Phi_{2,2}}\overrightarrow{n_2}+\sqrt{\Phi_{3,3}}\overrightarrow{n_3}+\sqrt{\Phi_{4,4}}\overrightarrow{n_4}|}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}</math>, где <math> \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3},\overrightarrow{n_4}</math> нормали граней тетраэдра.

Или с координатами вершин тетраэдра: <math> \frac{1}{\cos (R)}=\frac{ |\begin{vmatrix}

 0 & \overrightarrow{i_1} & \overrightarrow{i_2} & \overrightarrow{i_3} &\overrightarrow{i_4} \\
 1 & X_1 & Y_1 & Z_1 &T_1 \\
 1 & X_2 & Y_2 & Z_2 &T_2 \\
 1 & X_3 & Y_3 & Z_3 &T_3 \\
1 & X_4 & Y_4 & Z_4 & T_4 \\

\end{vmatrix}|}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}</math>.

<math> \begin{vmatrix}

 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) &1\\
 \operatorname{ch}(\alpha_{2,1}) & 1 & \operatorname{ch} (\alpha_{3,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) &1\\
 \operatorname{ch}(\alpha_{3,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{3,2}) & 1 & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) &1\\
 \operatorname{ch}(\alpha_{4,1}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,2}) & \operatorname{ch}(\alpha_{4,3}) & 1 &1\\

1 & 1 & 1 & 1 & \frac{1}{\operatorname{ch}^2 (R)} \\ \end{vmatrix}=0</math> — для гиперболического тетраэдра.

Радиус вписанной сферы

<math> \frac{1}{\sin^2 (r)}=\frac{\Phi_{1,1}+\Phi_{2,2}+\Phi_{3,3}+\Phi_{4,4}+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{2,2}}\cos (\alpha_{1,2})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{3,3}}\cos (\alpha_{1,3})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{4,4}}\cos (\alpha_{1,4})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{3,3}}\cos (\alpha_{2,3})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{4,4}}\cos (\alpha_{2,4})+2\sqrt{\Phi_{3,3}\Phi_{4,4}}\cos (\alpha_{3,4})}{\operatorname{det}\Phi}</math> — для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения: <math> \frac{1}{\sin (r)}=\frac{ |\sqrt{\Phi_{1,1}}\overrightarrow{r_1}+\sqrt{\Phi_{2,2}}\overrightarrow{r_2}+\sqrt{\Phi_{3,3}}\overrightarrow{r_3}+\sqrt{\Phi_{4,4}}\overrightarrow{r_4}|}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}</math>, где <math> \overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_3},\overrightarrow{r_4}</math> единичные радиус векторы вершин тетраэдра.

<math> \frac{1}{\operatorname{sh}^2 (r)}=-\frac{\Phi_{1,1}+\Phi_{2,2}+\Phi_{3,3}+\Phi_{4,4}+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{2,2}}\operatorname{ch} (\alpha_{1,2})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{3,3}}\operatorname{ch} (\alpha_{1,3})+2\sqrt{\Phi_{1,1}\Phi_{4,4}}\operatorname{ch} (\alpha_{1,4})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{3,3}}\operatorname{ch} (\alpha_{2,3})+2\sqrt{\Phi_{2,2}\Phi_{4,4}}\operatorname{ch} (\alpha_{2,4})+2\sqrt{\Phi_{3,3}\Phi_{4,4}}\operatorname{ch} (\alpha_{3,4})}{\operatorname{det}\Phi}</math> — для гиперболического тетраэдра.

Расстояние между центрами вписанной и описанной сфер

<math> \frac{\cos (d)} {\sin (r) \cos (R)}=\frac{\sqrt{\Phi_{1,1}}+\sqrt{\Phi_{2,2}}+\sqrt{\Phi_{3,3}}+\sqrt{\Phi_{4,4}}}{\sqrt{\operatorname{det}\Phi}}</math> — для сферического тетраэдра.

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

Координаты центра вписанной сферы:

<math>\mathbf{J}_r(\sqrt{\Phi_{1,1}},\sqrt{\Phi_{2,2}},\sqrt{\Phi_{3,3}},\sqrt{\Phi_{4,4}}).</math> — для сферического тетраэдра.

Координаты центра описанной сферы:

<math>\mathbf{J}_R= \begin{vmatrix}

 0 & \mathbf{J_1}        & \mathbf{J_2}       & \mathbf{J_3}        & \mathbf{J_4}        \\
 1 & 1 & \cos (\alpha_{1,2}) & \cos (\alpha_{1,3}) & \cos (\alpha_{1,4}) \\
1 & \cos (\alpha_{2,1}) & 1 & \cos (\alpha_{2,3}) & \cos (\alpha_{2,4}) \\
1 & \cos (\alpha_{3,1}) & \cos (\alpha_{3,2}) & 1 & \cos (\alpha_{3,4}) \\
1 &\cos (\alpha_{4,1}) & \cos (\alpha_{4,2}) & \cos (\alpha_{4,3}) & 1 \\

\end{vmatrix}.</math> — для сферического тетраэдра.

Тетраэдры в микромире

Правильный тетраэдр образуется при sp³-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника.
Молекула метана СН₄.
Ион аммония NH₄⁺.
Сульфат-ион SO₄^2-, фосфат-ион PO₄^3-, перхлорат-ион ClO₄^- и многие другие ионы.
Алмаз C — тетраэдр с ребром, равным 2,5220 ангстрем.
Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром, равным 3,8626 ангстрем.
Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром, равным 3,823 ангстрем.
Оксид цинка, ZnO.
Комплексные ионы [BF₄] ^-, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺.
Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO₄]^4-.

Тетраэдры в живой природе

Файл:TetrNuts.jpg

Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике

Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм,Стержни испытывают только продольные нагрузки.
Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр^[9].

Тетраэдры в философии

«Платон говорил, что наименьшие частицы огня суть тетраэдры»^[10].

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.

Шаблон:Многогранники

↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
↑ В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.
↑ Шаблон:Книга
↑ Маркелов С. Формула для объема тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite web
↑ http://knol.google.com/k/триггер#view Шаблон:Wayback Триггер
↑ Вернер Гейзенберг. У истоков квантовой теории. М. 2004 г. стр.107

[1] Шаблон:Cite web

[2] Шаблон:ВТ-ЭСБЕ

[3] Шаблон:Книга Шаблон:Wayback

[4] В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.

[5] Шаблон:Книга

[6] Маркелов С. Формула для объема тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132

[7] Шаблон:Cite web

[8] Шаблон:Cite web

[9] ttp://knol.google.com/k/триггер#view Шаблон:Wayback Триггер

[10] Вернер Гейзенберг. У истоков квантовой теории. М. 2004 г. стр.107

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Тетраэдр

Содержание

Свойства

Типы тетраэдров

Равногранный тетраэдр

Ортоцентрический тетраэдр

Прямоугольный тетраэдр

Каркасный тетраэдр

Соразмерный тетраэдр

Инцентрический тетраэдр

Правильный тетраэдр

Объём тетраэдра

Замечание

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

Сравнение формул треугольника и тетраэдра

Тетраэдр в неевклидовых пространствах

Объём неевклидовых тетраэдров

Соотношение между двугранными углами тетраэдра

Теорема косинусов

Теорема синусов

Радиус описанной сферы

Радиус вписанной сферы

Расстояние между центрами вписанной и описанной сфер

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

Тетраэдры в микромире

Тетраэдры в живой природе

Тетраэдры в технике

Тетраэдры в философии

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты