Русская Википедия:Тетраэдральное число
Тетраэдра́льные числа, называемые также треугольными пирамидальными числами — это фигурные числа, представляющие пирамиду, в основании которой лежит правильный треугольник. <math>n</math>-е по порядку тетраэдра́льное число <math>\Delta_n</math> определяется как сумма <math>n</math> первых треугольных чисел :
- <math>\Delta_n = T_1 + T_2 + \dots +T_n</math>
Начало последовательности тетраэдральных чисел:
- 1, Шаблон:Nums, … (Шаблон:OEIS).
Формула
Общая формула для <math>n</math>-го тетраэдрального числа:
- <math>\Delta_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}.</math>
Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:
- <math>\Delta_n = C^3_{n+2} = \binom{n+2}{3}.</math>
Свойства
Тетраэдральные числа находятся на 4-й позиции каждой строки в треугольнике Паскаля.
Только три тетраэдральных числа являются квадратными числами:
- <math>\Delta_1 = 1^2 = 1</math>,
- <math>\Delta_2 = 2^2 = 4</math>,
- <math>\Delta_{48} = 140^2= 19600</math>.
Пять тетраэдральных чисел одновременно являются треугольными (Шаблон:OEIS):
- <math>\Delta_1 = T_1 = 1</math>,
- <math>\Delta_3 = T_4 = 10</math>,
- <math>\Delta_6 = T_{15} = 120</math>,
- <math>\Delta_{20} = T_{55} = 1540</math>,
- <math>\Delta_{34} = T_{119} = 7140</math>,
Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
Можно заметить, что:
- <math>\Delta_5 = \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3 + \Delta_4</math>
Ряд из обратных тетраэдральных чисел является телескопическим и поэтому сходится:
- <math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\Delta_n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2}.</math>
Одна из «гипотез Поллока» (1850 год): каждое натуральное число представимо как сумма не более пяти тетраэдральных чисел. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардовШаблон:Sfn[1].
Многомерное обобщение
Трёхмерные тетраэдральные числа можно обобщить на четыре и более измерений, аналогично переходу от треугольных чисел к тетраэдральным. Аналогом тетраэдральных чисел в <math>d</math>-мерном пространстве служат «симплексные числа», называемые также гипертетраэдральнымиШаблон:Sfn:
- <math>S^{[d]}_n = \frac{(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!} = \frac{\prod_{k=0}^{d-1} (n+k)} {d!}.</math>.
Их частным случаем выступают:
- <math>S^{[2]}_n</math> — треугольные числа.
- <math>S^{[3]}_n</math> — тетраэдральные числа.
- <math>S^{[4]}_n</math> — пентатопные числа.
Примечания
Литература
Ссылки
- Фигурные числа
- Шаблон:MathWorld3
- Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
- On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà
