Русская Википедия:Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора
Тождества Уорда — Такахаши — Славнова — Тейлора — соотношения между вакуумными средними хронологических произведений операторов поля, обеспечивающие калибровочную инвариантность квантовой теории. В квантовой электродинамике эти соотношения, называемые Уорда тождествами и тождествами Уорда — Такахаши, являются прямым следствием сохранения тока, с которым взаимодействует калибровочное поле. Они выражают дивергенцию функции Грина с <math>n</math> внешними фотонными линиями через функции Грина с <math>n - 1</math> внешней фотонной линией. Простейшее тождество Уорда — Такахаши, связывающее вершинную часть <math>\Gamma_\mu</math> и собственную энергию электрона <math>\Sigma</math>, имеет вид:
- <math>\Gamma_\mu (p,p) = - \frac{\partial}{\partial p^\mu} \Sigma(p) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1)</math>
где <math>p</math> — 4-импульс электрона. Из тождества Уорда — Такахаши следуют соотношения между константами перенормировки: <math>\delta m = 0, \ Z_1 = Z_2</math> , где <math>\delta m,\ Z_1,\ Z_2</math> — соответственно константы перенормировки массы фотона, вершинной функции, волновой функции электрона.
В отличие от электродинамики, в квантовой теории неабелевых калибровочных полей ток, с которым взаимодействует поле Янга — Миллса, не сохраняется. Поэтому простые тождества типа (1) не справедливы. Их аналогом являются тождества Славнова-Тейлора, выражающие дивергенцию функции Грина с n внешними линиями поля Янга — Миллса через функции Грина с числом внешних линий <math>\geqslant n</math>, включающие помимо полей Янга — Миллса вспомогательые поля (духи Фаддеева — Попова). Тождества Славнова — Тейлора для полей Янга — Миллса можно записать в виде:
- <math>\int \exp \left[ i \int \left( \mathcal{L}(A) + \frac{1}{2 \alpha} (\partial_\mu A_\mu)^2 + \mathcal{L}_c + I_\mu^a A_\mu^a \right) dx \right] \left[-\frac{1}{\alpha} \partial_{\mu}A_{\mu}^a(x) \right. + </math>
- <math> + \left. \int \bar{c}^a(x) I_{\mu}^b \left( \partial_{\mu} c^b(y) g t^{bcd} A_{\mu}^c(y)c^d(y) \right) d y \right] d A d \bar{c} d c =0\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2)</math>
где <math>\mathcal{L}(A)</math> — классический лагранжиан поля Янга — Миллса <math>A_\mu^a</math>, <math>\mathcal{L}_c</math> — лагранжиан духов Фаддеева — Попова <math>c</math>, <math>\bar{c}</math>; <math>I</math> — ток внешних источников, <math>g</math> — константа взаимодействия, <math>t^{bcd}</math> — структурные константы калибровочной группы.
Из тождеств Славнова — Тейлора следуют соотношения между константами перенормировки полей Янга — Миллса и духов Фаддеева — Попова: <math>\delta m = 0,\ Z_1 Z_2^{-1} = \tilde{Z}_1 \tilde{Z}_2^{-1}, \ Z_4 = Z_1^2 Z_2^{-1}</math>, где <math>\delta m</math> — константа перенормировки массы поля Янга — Миллса, <math>Z_2, Z_1, Z_4</math> — соответственно константы перенормировки волновой функции и вершинных частей с тремя и четырьмя внешними линиями поля Янга — Миллса, а <math>\tilde{Z}_1 \tilde{Z}_2</math> — константы перенормировки волновой функции духов Фаддеева — Попова и вершинной части с одной внешней линией поля Янга — Миллса и двумя линиями духов Фаддеева — Попова.
Тождества Славнова — Тейлора выражают симметрию эффективного действия, стоящего в экспоненте в формуле (2), относительно преобразований, перепутывающих поля Янга — Миллса и духи Фаддеева — Попова, — так называемых преобразований БРСТ. Эти тождества гарантируют калибровочную инвариантность перенормированной теории и играют ключевую роль в доказательстве унитарности матрицы рассеяния.
Литература
- Физическая энциклопедия под ред. А. М. Прохорова.
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Ициксон К., Зюбер Ж. Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, M., 1984.
Ссылки
