Русская Википедия:Тождества Фирца

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тождества Фирца — тождества линейной алгебры, связывающие различные выражения в виде произведений матриц Паули, матриц Гелл-Манна и матриц Дирака, различающиеся между собой перестановкой индексов. Используются в теоретической физике.

Тождества Фирца для матриц Паули

<math>\delta_{b}^{a}\delta_{d}^{c} = \frac{1}{2}\delta_{d}^{a}\delta_{b}^{c} + \frac{1}{2} \mathbf{\sigma}_{d}^{a} \mathbf{\sigma}_{b}^{c}</math>

<math>\mathbf{\sigma}_{b}^{a}\mathbf{\sigma}_{d}^{c} = \frac{3}{2}\delta_{d}^{a}\delta_{b}^{c} - \frac{1}{2} \mathbf{\sigma}_{d}^{a} \mathbf{\sigma}_{b}^{c}</math>

Здесь и ниже <math>\sigma_{i}</math> — матрицы Паули, <math>\delta_{b}^{a}</math> — символ Кронекера,<math>\mathbf{\sigma}\mathbf{\sigma} = \sigma_{i}\sigma_{i}, i =1,2,3</math>Шаблон:Sfn.

Тождества Фирца для матриц Гелл-Манна

<math>\delta_{\beta}^{\alpha}\delta_{\delta}^{\gamma} = \frac{1}{3}\delta_{\delta}^{\alpha}\delta_{\beta}^{\gamma} + \frac{1}{2} \mathbf{\lambda}_{\delta}^{\alpha}\mathbf{\lambda}_{\beta}^{\gamma}</math>

<math>\mathbf{\lambda}_{\beta}^{\alpha}\mathbf{\lambda}_{\delta}^{\gamma} = \frac{16}{9} \delta_{\delta}^{\alpha} \delta_{\beta}^{\gamma} - \frac{1}{3} \mathbf{\lambda}_{\delta}^{\alpha}\mathbf{\lambda}_{\beta}^{\gamma}</math>

Здесь и ниже <math>\lambda_{\delta}</math> — матрицы Гелл-Манна, <math>\mathbf{\lambda}\mathbf{\lambda} = \lambda_{i} \lambda_{i}, i =1,2,3, ... 8</math>Шаблон:Sfn.

Тождества Фирца для матриц Дирака

<math>(\bar{a}O_{i}b)(\bar{c}O^{i}d) = \sum_{k}C_{ik}(\bar{a}O_{k}d)(\bar{c}O^{k}b)</math>

Здесь матрица <math>O</math> может быть одного из пяти типов <math>(S, V, T, A, P)</math>Шаблон:Sfn:

<math>O_{S}=\mathbf{1}</math>,

<math>O_{V} = \gamma_{\alpha}</math>,

<math>O_{T} = \frac{\sigma_{\alpha \beta}}{\sqrt{2}}</math>,

<math>O_{A} = \gamma_{5}\gamma_{\alpha}</math>,

<math>O_{P} = \gamma_{5}</math>,

где <math>\gamma_{\alpha}</math> — матрицы Дирака

Матрица <math>C_{ik}</math> называется матрицей Фирца.

Матрица Фирца

Произведение	S	V	T	A	P
S × S =	1/4	1/4	-1/4	-1/4	1/4
V × V =	1	-1/2	0	-1/2	-1
T × T =	-3/2	0	-1/2	0	-3/2
A × A =	-1	-1/2	0	-1/2	1
P × P =	1/4	-1/4	-1/4	1/4	1/4

См. также

• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• Матрицы Дирака

Литература

• Шаблон:Книга