Русская Википедия:Тождество Бохнера
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Тождество Бохнера — общее название семейства тождеств в римановой геометрии, связывающих лапласианы разных типов и кривизну. Тождества получаемыe интегрированием тождества Бохнера иногда называются тождествами Рейли.
Формулировка
Пусть <math>S</math> есть расслоение Дирака над римановым многообразием <math>M</math>, <math>D</math> — соответствующий оператор Дирака, и тогда
- <math>D^2\phi=\nabla^*\nabla\phi+\mathfrak{R}(\phi)</math>
для любого сечения <math>\phi\colon M\to S</math>.
Обозначения
Далее <math>e_i</math> обозначает ортонормированный репер в точке.
- <math>\nabla</math> обозначает связность на <math>S</math>, и
- <math>\nabla^*\nabla\phi=-\sum_i\nabla_{e_i}\nabla_{e_i}\phi,</math>
- так называемый лапласиан по связности.
- <math>\mathfrak{R}</math> — сечение <math>\mathrm{Hom}(S,S)</math>, определяемое как
- <math>\mathfrak{R}(\phi)=\tfrac12\cdot\sum_{i,j}e_i.e_j.R_{e_i,e_k}\phi,</math>
- где «<math>.</math>» обозначает умножение Клиффорда, и
- <math>R_{X,Y}=\nabla_X\nabla_Y-\nabla_Y\nabla_X-\nabla_{[X,Y]}</math>
- — преобразование кривизны.
- <math>D</math> — оператор Дирака на <math>S</math>, то есть
- <math>D\phi=\sum_ie_i.\nabla_{e_i}\phi.</math>
- и <math>D^2\phi=\Delta \phi</math> лапласиан Ходжа на дифференциальных формах
Следствия
- Из тождества Бохнера для градиента функции <math> u </math> получаем следующую интегральную формулу для любого замкнутого многообразия
- <math> \int\limits_M|\Delta u|^2-\int\limits_M|\mathrm{Hess}\, u|^2 = \int\limits_M\mbox{Ric}(\nabla u, \nabla u)
</math>,
- где <math>\mathrm{Hess}\, u </math> обозначает гессиан <math>u</math>.
- Если <math> u \colon M \rightarrow \mathbb{R} </math> — гармоническая функция, то
- <math>
\Delta (\tfrac{1}{2}\cdot|\nabla u| ^2) = |\nabla^2 u|^2 + \mbox{Ric}(\nabla u, \nabla u) </math>,
- где <math> \nabla u </math> обозначает градиент <math>u</math>. В частности:
- Компактные многообразия с положительной кривизной Риччи не допускают ненулевых гармонических функций.
- Если <math> u </math> — гармоническая функция на многообразии с положительной кривизной Риччи, то функция <math>|\nabla u|</math> субгармоническая.
- Из формулы Бохнера следует, что на компактных многообразиях с положительным оператором кривизны отсутствуют гармонические формы любой степени, то есть оно является рационально гомологической сферой.
- Другим методом, а именно потоком Риччи, удалось доказать что любое такое многообразие диффеоморфно фактору сферы по конечной группе.[1]
Примечания
Литература
