Русская Википедия:Тождество Кассини

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тождество Кассини — тождество, утверждающее, что для <math>n</math>-го числа Фибоначчи выполняется следующее соотношение:

<math>F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n</math>.Шаблон:Sfn

Тождество Каталана обобщает это соотношение:

<math>F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n-r}F_r^2</math>.

Формула Кассини была открыта в 1680 году Джованни Кассини, бывшим в то время директором Парижской обсерватории, доказана Робертом Симсоном в 1753 году. В 1879 году Эжен Каталан обобщил результат.

Быстрое доказательство тождества Кассини можно дать, если представить левую часть тождества в виде определителя матрицы из чисел Фибоначчи размером 2×2, показав, что эта матрица является <math>n</math>-ой степенью матрицы с определителем −1Шаблон:Sfn:

<math>F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2

=\det\left[\begin{matrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{matrix}\right] =\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]^n =\left(\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]\right)^n =(-1)^n</math>

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Yark, Joey. «proof of Cassini’s identity» (version 21). PlanetMath.org. Freely available at http://planetmath.org/proofofcassinisidentity
• [1]
• [2]
• Cassini formula for Fibonacci numbers
• Fibonacci and Phi Formulae
• George E. Andrews: Number Theory (1971).
• Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O., Concrete Mathematics, Second Edition, Addison-Wesley, 1994, pages 290—301.
• Michael Z. Spivey, Fibonacci Identities via the Determinant Sum Property, Integre Technical Publishing Co., Inc. College Mathematics Journal 37:4 April 14, 2006