Русская Википедия:Тождество Уорда — Такахаши

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тождество Уорда — Такахаши (в квантовой теории поля) — это тождество между корреляционными функциями, которое следует из глобальной или калибровочной симметрии теории и которое выполняется после перенормировки.

Тождество Уорда — Такахаши в квантовой электродинамике (КЭД) первоначально использовалось Джоном Клайвом Уордом и Ясуси Такахаши для того, чтобы связать перенормировку волновой функции электрона с его вершинным коэффициентом перенормировки, гарантируя устранение ультрафиолетовой расходимости во всех порядках теории возмущений. Более поздние варианты использования включают распространение доказательства теоремы Голдстоуна на все порядки теории возмущений.

В более общем смысле, тождество Уорда — Такахаши представляет собой квантовую версию классического закона сохранения тока, связанного с непрерывной симметрией по теореме Нётер. Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к появлению этих обобщённых тождеств Уорда — Такахаши, которые налагают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Есть обобщённые соотношения, которые следует отличать при чтении литературы, такой как учебник Майкла Пескина и Дэниела Шредера, от оригинального тождества Уорда — Такахаши.

Подробное обсуждение ниже касается КЭД, абелевой теории, к которой применимо тождество Уорда — Такахаши. Эквивалентными тождествами для неабелевых теорий, таких как квантовая хромодинамика (КХД), являются тождества Славнова — Тейлора.

Тождество Уорда — Такахаши

Тождество Уорда — Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсном пространстве, которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке. Пусть

<math>\mathcal{M}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n)</math>

— корреляционная функция КЭД, включающая внешний фотон с импульсом k (где <math>\epsilon_{\mu}(k)</math> — вектор поляризации фотона и подразумевается суммирование по <math>\mu=0,\ldots,3</math>), n электронов в начальном состоянии с импульсами <math> p_1 \cdots p_n</math>, и n электронов конечного состояния с импульсами <math>q_1 \cdots q_n</math>. Также по определению <math>\mathcal{M}_0</math> — это более простая амплитуда, полученная удалением фотона с импульсом k из нашей исходной амплитуды. Тогда тождество Уорда — Такахаши гласит:

<math>k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = e \sum_i \left[ \mathcal{M}_0(p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots (q_i-k) \cdots q_n) \right]\,. </math>

<math> \left. - \mathcal{M}_0(p_1 \cdots (p_i+k) \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) \right] </math>

где e — заряд электрона имеет отрицательный знак. Обратите внимание, что если <math>\mathcal{M}</math> имеет внешние электроны на оболочке, то каждая амплитуда в правой части этого тождества имеется по одной внешней частице вне оболочки, и поэтому они не вносят вклада в элементы S-матрицы.

Тождество Уорда

Тождество Уорда представляет собой специализацию тождества Уорда — Такахаши на элементах S-матрицы, которые описывают физически возможные процессы рассеяния и, таким образом, имеют все свои внешние частицы на оболочке. Пусть <math>\mathcal{M}(k) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k)</math> — амплитуда некоторого процесса КЭД с участием внешнего фотона с импульсом <math>k</math>, где <math>\epsilon_{\mu}(k)</math> — вектор поляризации фотона. Затем тождество Уорда гласит:

<math> k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k) = 0 </math>

Физически это тождество означает, что продольная поляризация фотона, возникающая в ξ-калибровке, нефизична и исчезает из S-матрицы.

Его использование включает ограничение тензорной структуры поляризации вакуума и электронной вершинной функции в КЭД.

Вывод в формулировке интеграла по траекториям

В формулировке интеграла по траекториям тождества Уорда — Такахаши являются отражением инвариантности функциональной меры относительно калибровочного преобразования. Точнее, если <math>\delta_\varepsilon</math> представляет собой калибровочное преобразование с помощью <math>\varepsilon</math> (и это справедливо даже в том случае, когда физическая симметрия системы глобальна или даже отсутствует; нас здесь беспокоит только инвариантность функциональной меры), тогда

<math>\int \delta_\varepsilon \left(\mathcal{F} e^{iS}\right) \mathcal{D}\phi = 0</math>

выражает инвариантность функциональной меры, где <math>S</math> — действие и <math>\mathcal{F}</math> — функционал полей. Если калибровочное преобразование соответствует глобальной симметрии теории, то

<math>\delta_\varepsilon S=\int \left(\partial_\mu\varepsilon\right)J^\mu\mathrm{d}^dx = -\int\varepsilon \partial_\mu J^\mu\mathrm{d}^dx</math>

для некоторого тока J (как функционала от полей <math>\phi</math>) после интегрирования по частям и предположения, что поверхностными членами можно пренебречь.

Тогда тождества Уорда — Такахаши записываются в виде

<math>\langle\delta_\varepsilon\mathcal{F}\rangle - i\int\varepsilon\langle\mathcal{F}\partial_\mu J^\mu \rangle\mathrm{d}^dx = 0</math>

Это КТП-аналог уравнения неразрывности Нётер <math>\partial_\mu J^\mu=0</math>.

Если калибровочное преобразование соответствует фактической калибровочной симметрии, то

<math>\int\delta_\varepsilon\left(\mathcal{F}e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right)\mathcal{D}\phi = 0</math>

где <math>S</math> — калибровочно-инвариантное действие и <math>S_{\mathrm{gf}}</math> — некалибровочно-инвариантный вклад, фиксирующий калибровку.

Но обратите внимание, что даже если глобальной симметрии нет (то есть симметрия нарушена), у нас всё равно есть тождество Уорда — Такахаши, описывающее скорость несохранения заряда.

Если функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет соотношению

<math>\int\delta_\varepsilon\left(\mathcal{F}e^{iS}\right)\mathcal{D}\phi = \int\varepsilon\lambda\mathcal{F}e^{iS}\mathrm{d}^dx</math>

где <math>\lambda</math> — некоторый функционал полей <math>\phi</math>, то имеется аномальное тождество Уорда — Такахаши, например, когда у поля есть киральная аномалия.