Русская Википедия:Тождество Якоби

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения термина Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию <math>[\cdot,\cdot]\colon V \times V \rightarrow V</math> на линейном пространстве <math>V</math>. Имеет следующий вид:

<math>\forall \, x,y,z \in V\colon [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 </math>

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Примеры

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

• Коммутатор операторов
• коммутатор в алгебре Ли
• Скобки Ли векторных полей
• Скобки Пуассона функций на симплектическом многообразии
• Векторное произведение векторов

Значение в алгебрах Ли

Если умножение <math>[\cdot,\cdot]</math> антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

<math>\mathrm{ad}_x \colon y \mapsto [x,y]</math>

Записав тождество Якоби в форме

<math>[x,[y,z]] = [y,[x,z]] + [[x,y],z]</math>

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора <math>\mathrm{ad}_x</math>:

<math>\mathrm{ad}_x\,[y,z] = [\mathrm{ad}_x\,y,z] + [y, \mathrm{ad}_x\,z]</math>

Таким образом, <math>\mathrm{ad}_x</math> — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

<math>\mathrm{ad}_{[x,y]} = [\mathrm{ad}_x, \mathrm{ad}_y] = \mathrm{ad}_x \mathrm{ad}_y - \mathrm{ad}_y \mathrm{ad}_x</math>

Это означает, что оператор <math>\mathrm{ad}</math> задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби

Пусть <math>\Omega = \oplus_{i} \Omega^i</math> — градуированная алгебра, <math>[\cdot,\cdot]</math> — умножение в ней. Говорят, что умножение в <math>\Omega</math> удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов <math>\omega_i \in \Omega^i</math>

<math>[\omega_m,[\omega_k,\omega_l] = [[\omega_m,\omega_k],\omega_l] + (-1)^{m k}[\omega_k,[\omega_m,\omega_l]</math>

Примеры

• алгебра внешних форм;
• алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
• алгебра тангенциальнозначных форм с умножением, задаваемым FN-скобками или NR-скобками;