Русская Википедия:Тождество параллелограмма

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Color parallelogram.svg

Параллелограмм

Тождество параллелограмма — одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе.

В евклидовой геометрии

Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.

<math>\ (AB)^2+(BC)^2+(CD)^2+(DA)^2=(AC)^2+(BD)^2.</math>

В пространствах со скалярным произведением

Файл:Parallelogram law.svg

Иллюстрация к тождеству параллелограмма

В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит такШаблон:Sfn:

<math>2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2,</math>

где

<math>\|x\|^2 =\langle x, x\rangle.</math>

В нормированных пространствах (поляризационное тождество)

В нормированном пространстве (V, <math>\| \cdot \|</math>), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение <math>\langle x, \ y \rangle</math>, порождающее эту норму, то есть такое что <math>\|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle</math> всех векторов <math>x</math> пространства <math> V</math>. Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану. Это можно сделать следующем способом:

• для действительного пространства

  <math>\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4},</math> или <math>{\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\over 2},</math> или <math> {\|x\|^2+\|y\|^2-\|x-y\|^2\over 2}.</math>

• для комплексного пространства

  <math>\langle x, y\rangle={\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\over 4}+i{\|ix-y\|^2-\|ix+y\|^2\over 4}.</math>

Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.

Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом <math>\ \|x\|^2=\langle x, x\rangle</math>, будет удовлетворять этому тождеству.

Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.

Обобщение

Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как

<math>\ Q(v) = B(v,v)</math>,

тогда

<math>

\begin{array}{l} 4 B(u,v) = Q(u+v) - Q(u-v), \\ 2 B(u,v) = Q(u+v) - Q(u) - Q(v), \\ 2 B(u,v) = Q(u) + Q(v) - Q(u-v). \end{array} </math>

См. также

• Теорема Эйлера о четырёхугольниках — обобщение тождества на случай произвольных четырёхугольников.

Ссылки

• Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве / Векторная алгебраШаблон:Ref-ru

Литература

• Шаблон:Книга