Русская Википедия:Тождество (математика)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

То́ждество (в математике) — равенство двух выражений, выполняющееся на всём множестве допустимых значений, входящих в эти выражения переменныхШаблон:Sfn. Тождественное равенство, когда его хотят подчеркнуть особо, обозначается вместо знака равенства символом «≡», который ввёл немецкий математик Бернхард Риман в 1857 году.

Примеры:

<math>a^2 - b^2 \equiv (a + b)(a - b)</math>

<math>(a + b)^2 \equiv a^2 + 2ab + b^2</math>

Иногда называют тождеством также равенство, не содержащее никаких переменных; например: <math>25^2 \equiv 625.</math>

Не любое равенство является тождеством. Например, равенство <math>x + 2 = 5</math> имеет место не при всяком значении <math>x</math>, а только при <math>x = 3</math>. Поэтому оно не является тождеством. Кроме того, равенство может выполняться, например, при положительных значениях переменных и не выполняться (или не иметь смысла) при отрицательных, см. об этом следующий раздел.

Тождественность на заданном множестве

В тех случаях, когда тождество выполняется не для всех возможных значений переменных, говорят, что выражения тождественны на некотором множестве.

Примеры:

• выражение <math>\frac{a^2}{a} \equiv a</math> тождественно при любом <math>a, </math> кроме <math>a=0</math>.
• выражение <math>\sqrt{ab}\equiv\sqrt{a}\sqrt{b}</math> тождественно только для неотрицательных вещественных чисел.
• выражение <math>a^2 - b^2 \equiv (a + b)(a - b)</math> тождественно в полях вещественных и комплексных чисел, однако не тождественно в кольцах кватернионов, квадратных матриц и других математических объектов, для которых не выполняется переместительный закон: <math>ab \ne ba</math>.

См. также

• Логарифмические тождества
• Отношение эквивалентности
• Список математических тождеств
• Уравнение

Литература

• Шаблон:Книга