Русская Википедия:Ток вероятности
В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.
Определение
Ток вероятности <math>\vec j</math> определяется как
- <math>\vec j = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^*\right) = \frac\hbar m \mbox{Im}(\Psi^*\vec\nabla\Psi)</math>
и удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности
- <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0</math>
с плотностью вероятности <math>\rho</math>, заданной
- <math>\rho = |\Psi|^2</math>.
Уравнение непрерывности эквивалентно следующему интегральному уравнению:
- <math>\frac{\partial}{\partial t} \int\limits_V |\Psi|^2 dV + \int\limits_S \vec j \cdot \vec {dS} = 0</math>
где <math>V</math> — объём и <math>S</math> — граница объёма <math>V</math>. Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.
В частности, если <math>\Psi</math> — волновая функция отдельной частицы, интеграл в первом слагаемом предыдущего уравнения (без производной по времени) — вероятность получения значения в пределах <math>V</math>, когда положение частицы измерено. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема <math> V </math>.
В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в <math>V</math> равна скорости, по которой вероятность «вытекает» из <math>V</math>.
Примеры
Плоская волна
Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне
- <math>\Psi = A e^{i\vec k \cdot \vec r} e^{-i \omega t}</math>
запишется в виде
- <math>\vec j = \frac{\hbar}{2mi} |A|^2 \left( e^{-i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{i\vec k \cdot \vec r} - e^{i\vec k \cdot \vec r} \vec \nabla e^{-i\vec k \cdot \vec r} \right) = |A|^2 \frac{\hbar \vec k}{m}.</math>
Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы:
- <math>\vec v = \frac{\vec p}{m} = \frac{\hbar \vec k}{m}</math>.
Отметьте, что ток вероятности является отличным от нуля несмотря на то, что плоские волны это стационарные состояния и следовательно
- <math>\frac{d|\Psi|^2}{dt} = 0</math>
везде. Это демонстрирует, что частица может двигаться, даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.
Частица в ящике
Для одномерного ящика с бесконечными стенками длиной <math>L</math> (<math>0 < x < L</math>), волновые функции запишутся в виде
- <math>\Psi_n = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \frac{n\pi}{L} x \right)</math>
и ноль справа и слева от ямы. Тогда ток запишется в виде
- <math>j_n = \frac{\hbar}{2mi}\left( \Psi_n^* \frac{\partial \Psi_n}{\partial x} - \Psi_n \frac{\partial \Psi_n^*}{\partial x} \right) = 0</math>
поскольку <math>\Psi_n = \Psi_n^*.</math>
Вывод уравнения непрерывности
В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.
Предположим что <math>\Psi</math> - волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных <math>x</math>, <math>y</math>, и <math>z</math>). Тогда
- <math>P = \int\limits_V |\Psi|^2 dV</math>
определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме V. Производная по времени запишется в виде
- <math>\frac{dP}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int\limits_V |\Psi|^2 dV = \int\limits_V \left( \frac{\partial \Psi}{\partial t}\Psi^* + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} \right) dV </math>
где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма <math>V</math> не зависит от времени). Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера
- <math>i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + V\Psi</math>
и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от <math>\Psi</math>:
- <math>\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \frac{i \hbar}{2m} \nabla^2 \Psi - \frac{i}{\hbar} V \Psi</math>
Результат подстановки в предыдущее уравнение для <math>\frac{dP}{dt}</math> даёт
- <math>\frac{dP}{dt} = - \int\limits_V \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \nabla^2 \Psi - \Psi \nabla^2 \Psi^* \right) dV</math>.
Теперь после перехода к дивергенции
- <math>\nabla \cdot \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) = \vec \nabla \Psi^* \cdot \vec \nabla \Psi + \Psi^* \nabla^2 \Psi - \vec \nabla \Psi \cdot \vec \nabla \Psi^* - \Psi \vec \nabla^2 \Psi^*</math>
и поскольку первое и третье слагаемое сокращаются:
- <math>\frac{dP}{dt} = - \int\limits_V \vec \nabla \cdot \frac{\hbar}{2mi} \left(\Psi^* \vec \nabla \Psi - \Psi \vec \nabla \Psi^* \right) dV</math>
Если теперь вспомним выражение для <math>P</math> и заметим, что выражение на которое действует оператор набла есть <math>\vec j</math> тогда запишем выражение
- <math>\int\limits_V \left( \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j \right) dV = 0</math>
которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех объёмов <math>V</math>, и интеграл можно опустить:
- <math>\frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} + \vec \nabla \cdot \vec j = 0.</math>
