Русская Википедия:Топологическая энтропия

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Значения Топологическая энтропия — в теории динамических систем неотрицательное вещественное число, которое является мерой сложности системы.

Определение

Пусть задано непрерывное отображение T метрического компакта (X,d) в себя. Тогда метрика <math>d_n</math> на X определяется как

<math>

d_n(x,y)=\max_{0\le j \le n} d(T^j(x),T^j(y)), </math> иными словами, это максимальное расстояние, на которое орбиты x и y расходятся за n итераций. Далее, для заданного <math>\varepsilon>0,</math> говорят, что множество — <math>(n,\varepsilon)</math>-отделённое, если попарные <math>d_n</math>-расстояния между его точками не меньше <math>\varepsilon</math>, и мощность наибольшего такого множества обозначается через <math>N(n,\varepsilon)</math>. Тогда топологической энтропией отображения T называется двойной предел

<math>

h(T)=\lim_{\varepsilon\to 0} \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log N(n,\varepsilon). </math>

Эта же величина может быть определёна иначе: если обозначить через <math>M(n,\varepsilon)</math> мощность наименьшей <math>\varepsilon</math>-сети, то

<math>

h(T)=\lim_{\varepsilon\to 0} \limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log M(n,\varepsilon). </math>

Эквивалентность этих определений легко выводится из неравенств <math>N(n,\varepsilon)\le M(n,\varepsilon) \le N(n,\varepsilon/2).</math> И то, и другое определение формализуют следующее нестрогое понятие: для неизвестной начальной точки, какое количество информации нужно получить в расчёте на одну итерацию, чтобы предсказать большое количество итераций с небольшой фиксированной ошибкой.

Литература

• Шаблон:Статья
• Dmitri Anosov (2001), «T/t093040», in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Шаблон:Книга