Русская Википедия:Торический узел
Торический узел — специальный вид узлов, лежащих на поверхности незаузлённого тора в <math>\R^3</math>.
Торическое зацепление — зацепление, лежащее на поверхности тора. Каждый торический узел определяется парой взаимно простых целых чисел <math>p</math> и <math>q</math>. Торическое зацепление возникает, когда <math>p</math> и <math>q</math> не взаимно просты (в этом случае число компонент равно наибольшему общему делителю <math>p</math> и <math>q</math>). Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо <math>p</math>, либо <math>q</math> равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, известный также как трилистник.
Геометрическое представление
Торический узел можно представить геометрически различными способами, топологически эквивалентными, но геометрически различными.
Обычно используется соглашение, что <math>(p, q)</math>-торический узел вращается <math>q</math> раз вокруг круговой оси тора и <math>p</math> раз вокруг оси вращения тора. Если <math>p</math> и <math>q</math> не взаимно просты, то получается торическое зацепление, имеющее более одной компоненты. Соглашения о направлении, в котором нити вращаются вокруг тора, также различны, чаще всего предполагается правый винт для <math>p q > 0</math>Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
<math>(p, q)</math>-торический узел может быть задан Шаблон:Не переведено 5:
- <math>x = r</math> <math>\cos(p\phi)</math>,
- <math>y = r</math> <math>\sin(p\phi)</math>,
- <math>z = -\sin(q\phi)</math>,
где <math>r = \cos(q\phi)+2</math> и <math>0<\phi<2\pi</math>. Он лежит на поверхности тора, задаваемого формулой <math>(r-2)^2 + z^2 = 1</math> (в цилиндрических координатах).
Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определены с точностью до непрерывной деформации. Примеры для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, приняв <math>r = \cos(q\phi)+4</math>, а в случае (2,3)-торического узла путём вычитания <math>3\cos((p-q)\phi)</math> и <math>3\sin((p-q)\phi)</math> из вышеприведённых параметризаций <math>x</math> и <math>y</math>.
Свойства
Торический узел является тривиальным тогда и только тогда, когда либо <math>p</math>, либо <math>q</math> равны 1 или −1Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
Каждый нетривиальный торический узел является простым и хиральными.
<math>(p, q)</math>-торический узел эквивалентен <math>(q, p)</math>-торическому узлуШаблон:SfnШаблон:Sfn. <math>(p, -q)</math>-торический узел является обратным (зеркальным отражением) <math>(p, q)</math>-торического узлаШаблон:Sfn. <math>(-p, -q)</math>-торический узел эквивалентен <math>(p, q)</math>-торическому узлу, за исключением ориентации.
Любой <math>(p, q)</math>-торический узел может быть построен из замкнутой косы с <math>p</math> нитями. Подходящее слово косыШаблон:Sfn:
- <math>(\sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_{p-1})^q</math>.
Эта формула использует соглашение, что генераторы косы используют правые вращенияШаблон:SfnШаблон:Sfn[1]Шаблон:Sfn.
Число пересечений <math>(p, q)</math>-торического узла с <math>p, q > 0</math> задаётся формулой:
- <math>c = \min((p-1)q, (q-1)p)</math>.
Род торического узла с <math>p, q > 0</math> равен:
- <math>g = \frac{1}{2}(p-1)(q-1).</math>
Многочлен Александера торического узла равенШаблон:SfnШаблон:Sfn:
- <math>\frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}</math>.
Полином Джонса (правовинтовой) торического узла задаётся формулой:
- <math>t^{(p-1)(q-1)/2}\frac{1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^2}</math>.
Дополнение торического узла на 3-сфере — это многообразие Зейферта.
Пусть <math>Y</math> — <math>p</math>-мерный Шаблон:Не переведено 5 с диском, удалённым внутри, <math>Z</math> — <math>q</math>-мерный дурацкий колпак с внутренним удалённым диском, и <math>X</math> — факторпространство, полученное отождествлением <math>Y</math> и <math>Z</math> вдоль границы окружности. Дополнение <math>(p, q)</math>- торического узла является деформационным ретрактом пространства <math>X</math>. Таким образом, группа узла торического узла имеет представление:
- <math>\langle x,y \mid x^p = y^q\rangle</math>.
Торические узлы — это единственные узлы, чьи группы узла имеют нетривиальные центры (которые являются бесконечными циклическими группами, образованные элементом <math>x^p = y^q</math> из этого представления).
Список
- Тривиальный узел, 31-узел (2,3), Узел «Лапчатка» (5,2), Шаблон:Не переведено 5 (7,2), 819-узел (4,3), 91-узел (9,2), 10124-узел (5,3).
См. также
Примечания
Литература
Ссылки
- 36 Torus Knots, The Knot Atlas.
- Шаблон:MathWorld
- Torus knot renderer in Actionscript
- Fun with the PQ-Torus Knot
- ↑ Dehornoy, P. et al. (2000). Why are braids orderable? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf Шаблон:Wayback
-Torus_Link.svg){kind=link}
_torus_knot.svg){kind=link}