Русская Википедия:Тороидальный многогранник

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Файл:Excavated expanded cuboctahedron.png
Шаблон:Не переведено 5 с удалёнными ромбовидными гранями как тороидальный многогранник рода 11. Все грани этого многогранники являются правильными многоугольниками.
Файл:Hexagonal torus.png
Можно построить многоугольный тор для приближения к поверхности тора развёрткой с четырёхугольными гранями, как показано на этом примере.

Тороидальный многогранник — это многогранник, который является также тороидом (тор с g дырами), имеющий топологический род, g, равный 1 или выше.

Варианты определения

Тороидальные многогранники определяются как набор многоугольников, которые имеют общие вершины и рёбра, образуя многообразие. То есть, каждое ребро должно быть общим в точности для двух многоугольников, вершинная фигура каждой вершины должна быть одним циклом из многоугольников, которым данная вершина принадлежит. Для тороидальных многогранников это многообразие будет ориентированной поверхностью[1]. Некоторые авторы ограничивают понятие «тороидальный многогранник» до многогранников, топологически эквивалентных (рода 1) торуШаблон:Sfn.

Здесь следует различать вложенные тороидальные многогранники, грани которых являются плоскими не пересекающими друг друга многоугольниками в трёхмерном евклидовом пространстве, от Шаблон:Не переведено 5, топологических поверхностей без определённой геометрической реализацииШаблон:Sfn. Серединой между этими двумя крайностями можно считать погружённые тороидальные многогранники, то есть многогранники, образованные многоугольниками или звёздчатыми многоугольниками в евклидовом пространстве, которым разрешено пересекать друг друга.

Во всех этих случаях тороидальная природа многогранников может быть проверена ориентированностью и эйлеровой характеристикой, которая для этих многогранников не положительна.

Многогранники Часара и Силаши

Многогранники Часара и Силаши
Файл:Csaszar polyhedron 3D model.svg Файл:Szilassi polyhedron.svg
Многогранник Часара Многогранник Силаши

Два самых простых возможных вложенных тороидальных многогранника — это многогранники Часара и Силаши.

Многогранник Часара — это тороидальный многогранник с семью вершинами, 21 ребром и 14 треугольными гранямиШаблон:Sfn. Только этот многогранник и тетраэдр (из известных) обладают свойством, что любой отрезок, соединяющий вершины многогранника является ребром многогранникаШаблон:Sfn. Двойственным многогранником является многогранник Силаши, который имеет 7 шестиугольных граней, каждая пара которых смежна друг другуШаблон:Sfn, обеспечивая половину теоремы о том, что максимальное значение цветов для раскраски карты на торе (рода 1) равно семиШаблон:Sfn.

Многогранник Часара имеет наименьшее возможное число вершин, которое может иметь вложенный тороидальный многогранник, а многогранник Силаши имеет наименьшее возможное число граней.

Тороиды Стюарта

Тороиды Стюарта
Файл:Stewart toroid 6-hexprisms.png Файл:Excavated truncated cube.png Файл:Toroidal polyhedron.gif
Шесть шестиугольных призм Четыре квадратных купола
8 тетраэдров 		Восемь октаэдров

Специальная категория тороидальных многогранников строится исключительно с помощью правильных многоугольных граней без их пересечения с дополнительным ограничением, что смежные грани не лежат в одной плоскости. Эти многогранники называются тороидами СтюартаШаблон:Sfn по имени профессора Шаблон:Не переведено 5, который исследовал их существованиеШаблон:Sfn. Они аналогичны телам Джонсона в случае выпуклых многогранников, но, в отличие от них, существует бесконечно много тороидов СтюартаШаблон:Sfn. Эти многогранники включают также торотоидальные дельтаэдры, многогранники, грани которых являются равносторонними треугольниками.

Ограниченный класс тороидов Стюарта, также определённых Стюартом, — это квазивыпуклые тороидальные многогранники. Это тороиды Стюарта, которые включают все рёбра их выпуклых оболочек. У этих многогранников каждая грань выпуклой оболочки либо лежит на поверхности тороида, либо является многоугольником, рёбра которого лежат на поверхности тороида[2].

Погружённые многогранники

Файл:Octahemioctahedron.png
Шаблон:Не переведено 5 		Файл:Small cubicuboctahedron.png
Шаблон:Не переведено 5 		Файл:Great dodecahedron.png
Большой додекаэдр

Многогранник, образованный системой пересекающихся многоугольников в пространстве — это многогранное погружение абстрактного топологического многообразия, образованного его многоугольниками и его системой рёбер и вершин. Примеры включают Шаблон:Не переведено 5 (род 1), Шаблон:Не переведено 5 (род 3) и большой додекаэдр (род 4).

Файл:Stephanoid5.png
Пятиугольный стефаноид. Этот стефаноид имеет пятиугольную диэдральную симметрию и имеет те же самые вершины, что и однородная пятиугольная призма.

Корончатый многогранник (или стефаноид) — это тороидальный многогранник, который является Шаблон:Не переведено 5 многогранником, будучи как изогональным (одинаковые типы вершин), так и изоэдральным (одинаковые грани). Корончатый многогранник является самопересекающимся и топологически самодвойственнымШаблон:Sfn.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Rq

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Harvtxt; Шаблон:Harvtxt, стр. 15.
  2. ↑ Шаблон:Harvtxt, «Quasi-convexity and weak quasi-convexity», стр. 76—79.
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Тороидальный_многогранник&oldid=10942929