Русская Википедия:Тор Клифтона — Поля

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Тор Клифтона — Поля — пример компактного лоренцева многообразия, не являющегося геодезически полным. Пример показывает, что теорема Хопфа — Ринова не обобщается на псевдоримановы многообразия. Этот пример был построен (но не опубликован) Йитоном Клифтоном и Уильямом Полем в 1962 году.

Построение

Рассмотрим многообразие <math>M = \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}</math> с метрикой:

<math>g= \frac{2\cdot dx\,dy}{x^2+y^2}</math>

Любая гомотетия является изометрией <math>M</math>, в частности, таково следующее отображение:

<math>\lambda(x,y)=2\cdot(x, y)</math>

Пусть <math>\Gamma</math> — подгруппа группы изометрии, порожденная <math>\lambda</math>. Фактор <math>M</math> по <math>\Gamma</math> является тором <math>T = M/\Gamma</math> — он и называется тором Клифтона — Поля.

Свойства

Геодезическая неполнота

Легко проверить, что кривая

<math>\sigma(t) := \left(\frac 1 {1-t},0\right)</math>

есть геодезическая в <math>M</math>, которая не полна (поскольку она не определена при <math>t=1</math>). Следовательно, <math>M</math> и <math>T = M/\Gamma,</math> не являются геодезически полными.

На самом деле, каждая нуль-геодезическая на <math>M</math>, а значит и на <math>T = M/\Gamma</math>, не является полной.

Сопряженные точки

Торы Клифтона — Поля также не имеют сопряженных точек.