Русская Википедия:Тор (поверхность)
Тор (тороид) — поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не пересекающей её[1].
Обобщенно, тор — топологическое пространство или гладкое многообразие, эквивалентное такой поверхности.
Иногда не требуют, чтобы ось вращения не пересекала образующую окружность. В таком случае, если ось вращения пересекает образующую окружность (или касается её), то тор называют закрытым, иначе открытым[2].
Понятие тора определяется и в многомерном случае. Тор является примером коммутативной алгебраической группы и примером группы Ли.
История
Тороидальная поверхность впервые была рассмотрена древнегреческим математиком Архитом при решении задачи об удвоении куба. Другой древнегреческий математик, Персей, написал книгу о спирических линиях — сечениях тора плоскостью, параллельной его оси.
Ось тора
Ось вращения может пересекать окружность, касаться её и располагаться вне окружности. В первых двух случаях тор называется закрытым, в последнем — открытым, или кольцом[2].
- Изменение расстояния до оси вращения
-
-
-
-
-
-
Окружность, состоящая из центров образующих окружностей, называется направляющей окружностью.
Топологические свойства
Тор является поверхностью рода 1 (сфера с одной ручкой). Тор является компактным топологическим пространством.
Тор имеет характеристику Эйлера — Пуанкаре χ=0.
Уравнения
Параметрическое
Уравнение тора с расстоянием от центра образующей окружности до оси вращения R и с радиусом образующей окружности r может быть задано параметрически в виде:
- <math>
\left\{ \begin{matrix} x(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \psi) \cos \varphi \\ y(\varphi,\psi) = & (R + r \cos \psi) \sin \varphi \\ z(\varphi,\psi) = & r \sin \psi \\ \end{matrix} \right. \qquad \varphi \in [0,2\pi), \psi \in [-\pi,\pi) </math>
Алгебраическое
Непараметрическое уравнение в тех же координатах и с теми же радиусами имеет четвёртую степень:
- <math>\left( x^2+y^2+z^2+R^2-r^2 \right)^2-4R^2\left(x^2+y^2\right)=0</math>
Такая поверхность имеет четвёртый порядок.
Существуют другие поверхности, диффеоморфные тору, имеющие другой порядок.
- <math>y^2=x^3+x+1</math>, где x, y комплексные числа. Комплексная эллиптическая кривая, кубическая поверхность.
- <math> \left\{
\begin{matrix} x^2+y^2 = 1 \\ z^2+t^2 = 1 \\ \end{matrix} \right. </math> Вложение тора в 4-мерное пространство. Это поверхность 2 порядка. Кривизна этой поверхности равна 0.
Кривизна поверхности
Тор в трёхмерном пространстве имеет точки положительной и отрицательной кривизны. В соответствии с теоремой Гаусса-Бонне интеграл кривизны по всей поверхности тора равен нулю.
Групповая структура
Свойства
- Площадь поверхности тора как следствие из первой теоремы Гюльдена: <math>S=4\pi^2 R r</math>.
- Объём тела, ограничиваемого тором (полнотория), как следствие из второй теоремы Паппа — Гюльдена: <math>V=2\pi^2 R r^2</math>.
- Тор с вырезанным диском («проколотый») можно вывернуть наизнанку непрерывным образом (топологически, то есть серией диффеоморфизмов). При этом две пересекающиеся перпендикулярно окружности на нём («параллель» и «меридиан») поменяются местами.[3]
- Два таких «дырявых» тора, сцепленных между собой, можно продеформировать так, чтобы один из торов «проглотил» другой.[4]
- Минимальное число цветов, необходимое для раскрашивания участков тора так, чтобы соседние были разного цвета, равно 7. См. также Проблема четырёх красок.
Сечения
- При сечении тора бикасательной плоскостью получающаяся кривая четвёртого порядка оказывается вырожденной: пересечение является объединением двух окружностей называемых окружностями Вилларсо.
- В частности, открытый тор может быть представлен как поверхность вращения окружности зацепленной за ось вращения
- Одно из сечений открытого тора — лемниската Бернулли, другие кривые линии являются графическими линиями и называются кривыми Персея[5] (спирическими линиями, сечениями тора плоскостью, параллельной его оси)
- Некоторые пересечения поверхности тора плоскостью внешне напоминают эллипс (кривую 2-го порядка). Получаемая таким образом кривая выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка[6].
Обобщения
Многомерный тор
Обобщением 2-мерного тора является многомерный тор (также n-тор или гипертор):
- <math>\mathbf{T}^n = \underbrace{S^1 \times \cdots \times S^1}_n.</math>
Поверхность вращения
Тор — частный случай поверхности вращения.
См. также
Примечания
Литература
- Савёлов А. А. Плоские кривые: Систематика, свойства, применения. М.: Физматгиз, 1960. 293 с. Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7
Шаблон:Компактные топологические поверхности Шаблон:Топология Шаблон:Rq
- ↑ Матем.энциклопедия, 1985, т.5, стр. 405
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Книга Шаблон:Wayback
- ↑ Этапы выворачивания тора были приведены в статье Альберта Такера и Герберта Бейли «Топология» в Scientific American в январе 1950 г.
- ↑ Подробности приведены в статье М. Гарднера в Scientific American за март 1977. Другие парадоксы, связанные с торами, можно найти в статьях М. Гарднера, опубликованных в Scientific American в декабре 1972 и декабре 1979 гг.
- ↑ Теоретические основы решения задач по начертательной геометрии: Учебное пособие
- ↑ Шаблон:Cite web
.gif){kind=link}
