Русская Википедия:Точечная группа в трёхмерном пространстве

Шаблон:Навигатор точечных групп в 3d Точечная группа в трёхмерном пространстве — это группа изометрий в трёхмерном пространстве, не перемещающая начало координат, или группа изометрий сферы. Группа является подгруппой ортогональной группы O(3), группы всех изометрий, оставляющих начало координат неподвижным, или, соответственно, группы ортогональных матриц. O(3) сама является подгруппой Шаблон:Не переведено 5 E(3) движений 3-мерного пространства.

Группы симметрии объектов являются группами изометрии. Соответственно, анализ групп изометрии является анализом возможных симметрий. Все изометрии ограниченного трёхмерного объекта имеют одну или более фиксированных точек (не меняющих положение при симметрии). Мы выбираем начало координат в качестве одной из таких точек.

Группа симметрий объекта иногда называется полной группой симметрии как противопоставление его группе вращений или собственной группе симметрии, пересечению полной группы симметрии и группы вращений SO(3) трёхмерного пространства. Группа вращений объекта совпадает с его полной группой симметрии тогда и только тогда, когда объект хирален.

Точечные группы в трёхмерном пространстве интенсивно используются в химии, особенно при описании симметрий молекулы и молекулярных орбиталей, образующих ковалентные связи, и в этом контексте эти группы называются Шаблон:Не переведено 5.

Конечные группы Коксетера являются специальным множеством точечных групп, образованных набором зеркальных плоскостей, пересекающихся в одной точке. Группа Коксетера ранга n имеет n зеркал и представляется диаграммой Коксетера — Дынкина. Шаблон:Не переведено 5 предоставляет скобочную запись, эквивалентную диаграмме Коксетера с символами разметки для вращательных и других точечных подгрупп симметрий.

Структура группы

SO(3) является подгруппой Шаблон:Не переведено 5, которая состоит из прямых изометрий, т.е. изометрий, сохраняющих ориентацию. Она содержит изометрии этой группы, оставляющие начало координат без движения.

O(3) является прямым произведением SO(3) и группы, образованной центральной симметрией:

O(3) = SO(3) × { I , −I }

Таким образом, имеется 1-в-1 соответствие между всеми прямыми изометриями и непрямыми изометриями, получаемыми центральной симметрией. Имеется также 1-в-1 соответствие между всеми группами прямых изометрий H в O(3) и всеми группами K изометрий в O(3), содержащих центральную инверсию:

K = H × { I , −I }

H = K ∩ SO(3)

Например, если H является группой C₂, то K равно C_2h. Если же H является группой C₃, то K равно S₆. (Смотрите ниже определение этих групп.)

Если группа прямых изометрий H имеет подгруппу L с индексом 2, то, кроме группы, содержащей центральную симметрию, есть ещё соответствующая группа, содержащая непрямые изометрии, но не содержащие центральной симметрии:

M = L ∪ ( (H \ L) × { − I } ),

где изометрия ( A, I ) отождествляется с A. Примером может быть C₄ для H и S₄ для M.

Таким образом, M получается из H с помощью центральной симметрии изометрий из H \ L. Эта группа M является абстрактной группой, изоморфной H. Обратно, для всех групп изометрии, содержащих непрямые изометрии, но не содержащие центральной симметрии, мы можем получить группу вращений путём применения центральной симметрии к непрямым изометриям.

В двумерном пространстве циклическая группа вращений порядка k C_k (вращений на угол 180°/ k) для любых положительных целых k является подгруппой O(2,R) и SO(2,R). Соответственно, в трёхмерном пространстве для любой оси циклическая группа вращений порядка k вокруг оси является нормальной подгруппой всех вращений вокруг оси. Поскольку любая подгруппа с индексом два нормальна, группа вращений (C_n) является нормальной как в группе, полученной добавлением зеркальных симметрий относительно плоскостей, содержащих оси (C_nv), так и в группе, полученной добавлением зеркальных симметрий относительно плоскостей, перпендикулярных осям (C_nh).

Трёхмерные изометрии, оставляющие начало координат неподвижным

Изометрии пространства R³, оставляющие начало координат неподвижным и образующие группу O(3,R), можно распределить на группы следующим образом:

SO(3,R):
- тождественное движение
- вращение вокруг оси, проходящей через начало координат, на угол, не равный 180°
- вращение вокруг оси, проходящей через начало координат, на угол, равный 180°
то же самое с центральной симметрией (x переводится в −x), т.е. соответственно:
- центральная симметрия
- вращение вокруг оси, проходящей через начало координат, на угол, не равный 180°, с последующим отражением относительно плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через начало координат
- отражение относительно плоскости, проходящей через начало координат

4-я и 5-я изометрии, в частности, а в более широком смысле и 6-я, называются Шаблон:Не переведено 5.

Сопряжённость

Если сравниваются симметрии двух объектов, то начало координат для каждого объекта выбирается отдельно, т.е. они не обязательно будут имеет один и тот же центр. Более того, считается, что объекты имеют тот же тип симметрии, если их группы симметрии являются сопряжёнными группами группы O(3) (две подгруппы H₁ и H₂ группы G сопряжены, если существует g ∈ G, такой, что H₁ = g⁻¹H₂g ).

Например, два трёхмерных объекта имеют тот же тип симметрии, если

оба имеют зеркальную симметрию, но относительно разных плоскостей
оба имеют вращательную симметрию порядка 3, но относительно разных осей.

В случаем нескольких плоскостей симметрии и/или осей вращения две группы симметрии имеют тот же тип тогда, и только тогда, когда имеется вращение, отображающее полную структуру первой группы симметрии во вторую. (Фактически, может быть более чем одно вращение, но не бесконечное число). Определение сопряжения позволяет также зеркальное отражение структуры, но необходимости в этом нет, поскольку структура сама по себе ахиральна. Например, если группа симметрии содержит ось порядка 3, она содержит вращения в двух противоположных направлениях (структура хиральна для 11 пар кристаллографических групп с винтовой осью).

Бесконечные группы изометрии

Существует множество бесконечных групп изометрии, например, "циклическая группа" (предполагается группа, образованная одним элементом – не путать с группой с кручением), образованная вращением на иррациональный угол вокруг оси. Мы можем создать нецикличные абелевы группы путём добавления дополнительных кручений вокруг той же оси. Существуют также неабелевы группы, образованные вращениями вокруг различных осей. Они обычно (в общем случае) являются свободными группами. Они будут бесконечными, если не выбрать вращение определённым образом.

Все упомянутые до этого момента бесконечные группы не являются замкнутыми как топологические подгруппы группы O(3).

Файл:Blender-meta-ball.png

Непомеченная сфера имеет симметрию O(3).

Полная группа O(3) является группой сферической симметрии. SO(3) является соответствующей группой вращений. Другие бесконечные группы изометрии состоят из всех вращений вокруг оси, проходящей через начало координат, и из такого же вращения с дополнительной зеркальной симметрией относительно плоскостей, проходящих через эту ось и/или зеркальной симметрией относительно плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной оси. Эти группы с зеркалами, проходящими через ось, с или без зеркала, проходящего через начало координат и перпендикулярного оси, являются группами симметрии для двух типов Шаблон:Не переведено 5. Отметим, что любой физический объект, имеющий бесконечные вращательные симметрии, будет также иметь зеркальные симметрии относительно плоскостей, проходящих через ось.

Конечные группы изометрии

Симметрии в 3-мерном пространстве, оставляющие на месте начало координат, полностью определяются симметриями на сфере с центром в начале координат. Для конечных трёхмерных точечных групп см. также Группы сферической симметрии.

С точностью до сопряжённости множество конечных трёхмерных точечных групп состоит из:

7 бесконечных серий с максимум одной осью порядка, большего 2. Это конечные группы симметрии на бесконечных цилиндрах, или, что эквивалентно, на конечных цилиндрах. Эти группы иногда называются призматическими точечными группами.
7 точечных групп с несколькими осями порядка 3 и более. Это конечные точечные группы с несколькими осями порядка 3, поскольку все 7 включают такие оси. Возможные комбинации осей:
- 4 оси порядка 3
- 4 оси порядка 3 и 3 порядка 4
- 10 осей порядка 3 и 6 порядка 5

Набор точечных групп сходен с дискретной группой переноса — 27 из 7 бесконечных серий и 5 из 7 оставшихся, всего 32 так называемых кристаллических точечных групп. См. также Шаблон:Не переведено 5.

Семь бесконечных серий групп осевой симметрии

Бесконечные серии призматических групп имеют индекс n, который может быть любым натуральным числом. В каждой серии n-я группа симметрии содержит вращение порядка n вокруг оси, т.е. вращение на угол 360°/n. Случай n=1 соответствует отсутствию движения. Существует четыре серии без дополнительных осей вращательной симметрии (см. Шаблон:Не переведено 5) и три с дополнительными осями симметрии порядка 2 (см. диэдральная симметрия). Их можно понимать как Шаблон:Не переведено 5, расширенные координатными осями и отражениями в них. Они связаны с группами бордюра Шаблон:Sfn и могут рассматриваться как бордюрные группы, повторяющиеся n раз вокруг цилиндра.

В следующей таблице даны некоторые виды обозначений для точечных групп: символика Германа — Могена (используется в кристаллографии), символы Шёнфлиса (используется для описания молекулярной симметрии), Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5. Последние три не только удобны для понимания свойств точечных групп, но также определяют порядок группы. Это унифицированные записи, применимые к группам обоев и группам бордюров. Для кристаллографических групп n ограничен значениями 1, 2, 3, 4 и 6. Если удалить кристаллографические ограничения, получим группы для любого натурального числа.

Серии:

Германа — Могена		Шёнфлиса	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5		Бордюр	Структура (Шаблон:Не переведено 5)	Пример	Комментарии
Чётное n	Нечётное n	Шёнфлиса	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5		(цилиндр)	Структура (Шаблон:Не переведено 5)	Пример	Комментарии
n		C_n	nn	[n]⁺	Шаблон:CDD	p1	n	Z_n (n)	Файл:Uniaxial C6.png	вращательная симметрия порядка n
Шаблон:Overline	Шаблон:Overline	S_2n	n×	[2n⁺,2⁺]	Шаблон:CDD	p11g	Z_2n (2n)	Файл:Uniaxial S6.png	Шаблон:Не переведено 5 порядка n. Не путать с симметрическими группами
n/m	Шаблон:Overline	C_nh	n*	[n⁺,2]	Шаблон:CDD	p11m	Z_n×Dih₁ (2n)	Файл:Uniaxial C6h.png
nmm	nm	C_nv	*nn	[n]	Шаблон:CDD	p1m1	Dih_n (2n)	Файл:Uniaxial C6v.png	Пирамидальная симметрия; в биологии — бирадиальная симметрия
n22	n2	D_n	22n	[n,2]⁺	Шаблон:CDD	p211	2n	Dih_n	Диэдральная симметрия
Шаблон:Overline2m	Шаблон:Overlinem	D_nd, D_nv	[2n,2⁺]	Шаблон:CDD	p2mg	4n	Dih_2n (2n)	Файл:Uniaxial D6.png	Антипризматическая симметрия
n/mmm	Шаблон:Overline2m	D_nh	*22n	[n,2]	Шаблон:CDD	p2mm	Dih_n×Dih₁ (4n)	Файл:Uniaxial D6h.png	Призматическая симметрия

Для нечётных n мы имеем Z_2n = Z_n × Z₂ и Dih_2n = Dih_n × Z₂.

Понятие горизонтальная (h) и вертикальная (v), а также соответствующие (нижние) индексы, относятся к дополнительным зеркальным плоскостям, которые могут быть параллельны оси вращения (вертикальны) или перпендикулярны оси вращения (горизонтальны).

Простейшие нетривиальные группы имеют инволюционную симметрию (абстрактная группа Z₂):

C_i – центральная симметрия
C₂ – вращательная симметрия порядка 2
C_s – зеркальная симметрия, также называемая билатеральной симметрией.

Файл:Uniaxial.png

Узор на цилиндрической ленте иллюстрирует случай n = 6 для каждого из 7 бесконечных семейств точечных групп. Для каждого узора приведена группа симметрии.

Вторая из этих групп является первой из групп с одной осью (циклических групп) C_n порядка n (применимых также и в двумерном пространстве), которые порождаются одним вращением на угол 360°/n. В дополнение можно добавить зеркальную плоскость, перпендикулярную оси, что даёт группу C_nh порядка 2n, или множество n зеркал, содержащих ось, что даёт группу C_nv, также порядка 2n. Последняя является группой симметрии правильной пирамиды с n сторонами. Типичный объект с группой симметрии C_n или D_n — пропеллер.

Если добавлены и вертикальные плоскости отражения, и горизонтальные плоскости, их пересечения дают n осей вращения на 180°, так что группа больше не одноосная. Эта новая группа порядка 4n называется D_nh. Её подгруппы вращений — диэдрическая группа D_n порядка 2n, которая, всё же, имеет оси вращения порядка 2, перпендикулярные основной оси вращения, но не имеет плоскостей зеркального отражения. Заметим, что в 2D D_n включает отражения, которые можно видеть как перекидывание через плоские объекты без различения лицевой и обратной сторон, но в 3D две операции различаются — группа содержит «перекидывание через», но не отражения.

Имеется ещё одна группа в этом семействе, называемая D_nd (или D_nv), которая имеет вертикальные зеркальные плоскости, содержащие основную ось вращения, но вместо горизонтального зеркала она имеет изометрию, которая комбинирует отражение относительно горизонтальной плоскости и вращение на угол 180°/n. D_nh является группой симметрии правильной (n+2)-сторонней призмы и для правильной (2n)-сторонней бипирамды. D_nd является группой симметрии для правильной (n+2)-сторонней антирпризмы, а также для правильного (2n)-стороннего трапецоэдра. D_n является группой симметрии частично повёрнутой призмы.

Группы D₂ и D_2h замечательны тем, что в них нет специальных осей вращения. Имеется три перпендикулярные оси порядка 2 ^[1]. D₂ является подгруппой полиэдральных симметрий (см. ниже), а D_2h является подгруппой полиэдральных симметрий T_h и O_h. D₂ можно обнаружить в гомотетрамерах, таких как конканавалин А, в тетраэдральных комплексных соединениях с четырьмя одинаковыми Шаблон:Не переведено 5, или в молекулах, таких как тетракис (хлорфторметил)метан, если все хлорфторметиловые группы имеют одну и ту же хиральность. Элементы D₂ находятся в 1-к-2 соответствии с вращениями, заданными обратимыми элементами кватернионов Липшица.

Группа S_n порождается комбинацией отражения в горизонтальной плоскости и вращения на угол 360°/n. Для нечётных n группа совпадает с группой, порождённой двумя отдельными C_nh порядка 2n, а потому обозначение S_n не является необходимым. Для чётных n, однако, они различны и имеют порядки n. Подобно D_nd группа содержит несколько Шаблон:Не переведено 5, но не содержит соответствующих вращений.

Все группы симметрии в 7 бесконечных сериях различны, за исключением следующих четырёх равных пар:

C_1h и C_1v: группа порядка 2 с одним отражением (C_s )
D₁ и C₂: группа порядка 2 с одним вращением на 180°
D_1h и C_2v: группа порядка 4 с отражением относительно плоскости и вращением на 180° относительно прямой на этой плоскости
D_1d и C_2h: группа порядка 4 с отражением относительно плоскости и вращением на 180° относительно прямой, перпендикулярной этой плоскости

S₂ — это группа порядка 2 с единственной симметрией относительно точки (C_i )

Здесь "Равный" означает тот же самый с точностью до сопряжённости в пространстве. Это строже, чем «с точностью до алгебраического изоморфизма». Например, существует три различные группы порядка два в первом смысле, но только одна во втором. Подобным образом, например, группа S_2n алгебраически изоморфна Z_2n.

Группы можно построить следующим образом:

C_n. Порождена элементом, который также называется C_n, соответствующим вращению на угол 2π/n вокруг оси. Элементами группы являются E (тождественный элемент), C_n, C_n², ..., C_nⁿ⁻¹, соответствующие вращению на углы 0, 2π/n, 4π/n, ..., 2(n − 1)π/n.
S_2n. Группа порождена элементом C_2nσ_h, где σ_h — отражение (в зеркале, перпендикулярном оси). Её элементами являются элементы C_n с добавленными элементами C_2nσ_h, C_2n³σ_h, ..., C_2n²ⁿ⁻¹σ_h.
C_nh. Группа порождена элементом C_n и отражением σ_h. Её элементами являются элементы группы C_n с добавленными элементами σ_h, C_nσ_h, C_n²σ_h, ..., C_nⁿ⁻¹σ_h.
C_nv. Группа порождена элементом C_n и отражением σ_v в зеркале, проходящем через ось. Её элементами являются элементы группы C_n с добавленными элементами σ_v, C_nσ_v, C_n²σ_v, ..., C_nⁿ⁻¹σ_v.
D_n. Группа порождена элементом C_n и вращением на 180° U = σ_hσ_v вокруг прямой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси. Её элементами являются элементы группы C_n с добавленными элементами U, C_nU, C_n²U, ..., C_n^n − 1U.
D_nd. Группа порождена элементами C_2nσ_h и σ_v. Её элементами являются элементы группы C_n и элементами групп S_2n и C_nv, вместе с элементами C_2nσ_hσ_v, C_2n³σ_hσ_v, ..., C_2n^2n − 1σ_hσ_v.
D_nh. Группа порождена элементами C_n, σ_h и σ_v. Её элементами являются элементы группы C_n с добавлением элементов групп C_nh, C_nv и D_n.

Принимая n равным ∞, получим группу с непрерывными осевыми вращениями:

Г–М	Шёнфлис	Шаблон:Не переведено 5	Шаблон:Не переведено 5		Предел	Абстрактная группа
∞	C_∞	∞∞	[∞]⁺	Шаблон:CDD	C_n	Z_∞	SO(2)
Шаблон:Overline, ∞/m	C_∞h	∞*	[2,∞⁺]	Шаблон:CDD	C_nh, S_2n	Dih₁×Z_∞	Z₂×SO(2)
∞m	C_∞v	*∞∞	[∞]	Шаблон:CDD	C_nv	Dih_∞	O(2)
∞2	D_∞	22∞	[2,∞]⁺	Шаблон:CDD	D_n	Dih_∞	O(2)
Шаблон:Overlinem, ∞/mm	D_∞h	*22∞	[2,∞]	Шаблон:CDD	D_nh, D_nd	Dih₁×Z_∞	Z₂×O(2)

Семь оставшихся точечных групп

Оставшиеся точечные группы имеют очень высокую или полиэдральную симметрию, поскольку они имеют более одной оси вращения порядка, большего 2. Здесь C_n обозначает ось вращения на 360°/n, а S_n обозначает ось несобственного вращения на тот же угол. В столбце обозначений указаны Шаблон:Не переведено 5 (в круглых скобках), Шаблон:Не переведено 5 (диаграмма Коксетера), полная символика Германа — Могена и сокращенная форма, если она отлична. Список крупп:

T, (332) [3,3]⁺ (Шаблон:CDD) 23 порядок 12	хиральная Тетраэдральная симметрия	Есть четыре C₃ оси, каждая проходит через две вершины куба (по большой диагонали) или высоты правильного тетраэдра, и три оси C₂ через центры граней куба или середины (противоположных) сторон тетраэдра. Эта группа изоморфна группе A₄, знакопеременной группе на 4 элементах и является группой вращений правильного тетраэдра. Группа является нормальной подгруппой групп T_d, T_h и октаэдральных симметрий. Элементы группы соответствуют 1-к-2 вращениям, которые задаются 24 единицами кватернионов Гурвица ("Бинарная группа тетраэдра").
T_d, (*332) [3,3] (Шаблон:CDD) Шаблон:Overline3m порядок 24	полная тетраэдральная симметрия	Эта группа имеет те же оси вращения, что и T, но с шестью зеркальными плоскостями, каждая содержит два ребра куба или одно ребро тетраэдра, одну ось C₂ и две оси C₃. Оси C₂ становятся осями S₄. Эта группа является группой симметрии правильного тетраэдра. T_d изоморфна S₄, симметрической группе 4 букв, поскольку имеется 1-в-1 соответствие между элементами T_d и 24 перестановками четырёх осей порядка 3. Объект симметрии C_3v относительно одной из осей порядка 3 получается действием T_d на орбиту, состоящую из четырёх таких объектов, и T_d соответствует множеству перестановок этих четырёх элементов. T_d является нормальной подгруппой группы O_h. См. также изометрии правильного тетраэдра.
T_h, (3*2) [3⁺,4] (Шаблон:CDD) 2/mШаблон:Overline, mШаблон:Overline порядок 24	пиритоэдральная симметрия	Файл:Volleyball seams diagram.png Швы волейбольного мяча имеют симметрию T_h. Эта группа имеет те же оси вращения, что и T с плоскостями зеркал, параллельными граням куба. Оси C₃ становятся осями S₆ и существует центральная симметрия. Группа T_h изоморфна группе A₄ × Z₂ (поскольку T и C_i являются нормальными подгруппами), но не симметрической группе S₄. Это группа симметрии куба, на каждой грани которого проведён отрезок, делящий куб на два равных прямоугольника, причём отрезки смежных граней не имеют общих точек (соединяют разные рёбра). Симметрии соответствуют чётным перестановкам больших диагоналей, комбинированные с центральной симметрией. Группа является также симметрией пиритоэдра, который похож на описанный выше куб, в котором каждый прямоугольник заменен на пятиугольник с одной осью симметрии, имеющий 4 равные стороны и одну сторону отличной длины (которая соответствует отрезку, делящему грань куба.). То есть грани куба выпячиваются по линии деления и становятся здесь у́же. Группа является подгруппой (но не нормальной подгруппой) группы полной икосаэдральной симметрии (как изометричная группа, но не просто как абстрактная группа), с 4 из 10 осей порядка 3. Группа является нормальной подгруппой группы O_h.
O, (432) [4,3]⁺ (Шаблон:CDD) 432 порядок 24	хиральная Шаблон:Не переведено 5	Эта группа подобна группе T, но оси C₂ становятся осями C₄ и имеется 6 дополнительных осей C₂, проходящих через середины рёбер куба. Эта группа изоморфна S₄, поскольку её элементы 1-в-1 соответствуют 24 перестановкам осей порядка 3, как в T. Объект симметрии D₃ относительно одной из осей порядка 3 получается действием O на орбиту, состоящую из четырёх таких объектов, и O соответствует множеству перестановок этих четырёх элементов. Группа является группой вращений куба и октаэдра. Если представить вращения кватернионами, O состоит из 24 единиц кватернионов Гурвица и 24 кватернионов Липшица с нормой, нормализованных делением на <math>\sqrt 2</math>. Как и ранее, это 1-в-2 соответствие.
O_h, (*432) [4,3] (Шаблон:CDD) 4/mШаблон:Overline2/m, mШаблон:Overlinem порядок 48	полная октаэдральная симметрия	Эта группа имеет те же оси вращения, что и O, но с зеркальными плоскостями, включающими плоскости симметрии T_d и T_h. Группа изоморфна S₄ × Z₂ (поскольку и O, и C_i являются нормальными подгруппами), и является группой симметрии куба и октаэдра. См. также Шаблон:Не переведено 5
I, (532) [5,3]⁺ (Шаблон:CDD) 532 порядок 60	хиральная Икосаэдральная симметрия	Группа вращений икосаэдра и додекаэдра. Группа является нормальной подгруппой с индексом 2 полной группы симметрий I_h. Группа содержит 10 версий группы D₃ и 6 версий группы D₅ (вращательные симметрии, как у призм и антипризм). Группа содержит также пять версий T_h (см. Соединение пяти тетраэдров). Группа I изоморфна группе A₅, знакопеременной группе на 5 буквах, поскольку её элементы соответствуют 1-в-1 чётным перестановкам пяти T_h симметрий (или пяти тетраэдров, упомянутых выше).
I_h, (*532) [5,3] (Шаблон:CDD) Шаблон:Overline Шаблон:Overline2/m, Шаблон:Overline Шаблон:Overlinem порядок 120	полная икосаэдральная симметрия	Группа симметрии икосаэдра и додекаэдра. Группа I_h изоморфна A₅ × Z₂, поскольку I и C_i являются нормальными подгруппами. Группа содержит 10 версий D_3d, 6 версий D_5d (симметрии, как у антипризм), и 5 версий T_h.

Непрерывными группами, связанными с этой группой, являются:

K или SO(3), все возможные вращения.
K_h или O(3), все возможные вращения и отражения.

Как замечено выше для непрерывных групп вращений, любой физический объект, имеющий симметрию K, будет иметь и симметрию K_h.

Связь между орбифолдной нотацией и порядком

Порядок любой группы равен 2, делённое на орбифолдную эйлерову характеристику. Последняя равна 2 минус сумма значений, которые вычисляются по следующим правилам:

n без или перед * считается как (n−1)/n
n после * считается как (n−1)/(2n)
* и × считается как 1

Это можно применить также для групп обоев и групп бордюров — для них сумма равна 2, что даёт бесконечный порядок. См. Шаблон:Не переведено 5.

Группы отражений Коксетера

Фундаментальная область трёхмерных групп Коксетера
A₃, [3,3]	BC₃, [4,3]	H₃, [5,3]
Файл:Tetrahedral reflection domains.png 6 зеркал	Файл:Octahedral reflection domains.png 3+6 зеркал	Файл:Icosahedral reflection domains.png 15 зеркал
A₁×A₁, [1,2]	A₁×A₁×A₁, [2,2]	I₂(3)×A₁, [2,3]
Файл:Spherical digonal bipyramid2.png 2 зеркала	Файл:Spherical square bipyramid2.png 3 зеркала	Файл:Spherical hexagonal bipyramid2.png 4 зеркала
A₁, [1]	A₁×A₁, [2]	I₂(3), [3]
Файл:Spherical digonal hosohedron2.png 1 зеркало	Файл:Spherical square hosohedron2.png 2 зеркала	Файл:Spherical hexagonal hosohedron2.png 3 зеркала

Точечные группы отражений в трёхмерном пространстве, которые называются также группами Коксетера и могут быть заданы диаграммами Коксетера — Дынкина, представляют набор зеркал, пересекающихся в одной центральной точке, и ограничивающих доменную область в виде сферического треугольника на поверхности сферы. Группы Коксетера с менее чем 3 образующими имеют вырожденные сферические треугольные домены, такие как Шаблон:Не переведено 5 или полусфера. В Шаблон:Не переведено 5 такими группами являются тетраэдральная симметрия [3,3], Шаблон:Не переведено 5 [4,3], икосаэдральная симметрия [5,3] и Шаблон:Не переведено 5 [p,2]. Число зеркал в неприводимой группе равно nh/2, где h — число Кокстера группы, n — размерность (3) Шаблон:Sfn.

Группа Вейля	Шаблон:Не переведено 5		Порядок	Число Кокстера (h)	Зеркала (m)
Группы многогранника
A₃	Шаблон:CDD	[3,3]	24	4	6
B₃	Шаблон:CDD	[4,3]	48	6	3+6
H₃	Шаблон:CDD	[5,3]	120	10	15
Шаблон:Не переведено 5
2A₁	Шаблон:CDD	[1,2]	4		1+1
3A₁	Шаблон:CDD	[2,2]	8		2+1
I₂(p)A₁	Шаблон:CDD	[p,2]	4p		p+1
Шаблон:Не переведено 5
2A₁	Шаблон:CDD	[2]	4		2
I₂(p)	Шаблон:CDD	[p]	2p		p
Single mirror
A₁	Шаблон:CDD	[ ]	2		1

Группы вращений

Группами вращений, т.е. конечными подгруппами SO(3), являются: циклические группы C_n (группы вращений канонических пирамид), диэдральные группы D_n (группы вращений однородных призм или канонических бипирамид) и группы вращений T, O и I правильного тетраэдра, октаэдра/куба и икосаэдра/додекаэдра.

В частности, диэдральные группы D₃, D₄ и т.д. являются группами вращений плоских правильных многоугольников, вложенных в трёхмерное пространство, и такие фигуры можно считать вырожденными правильными призмами. Поэтому они называются диэдрами (по-гречески: тело с двумя гранями), что и объясняет название диэдральная группа.

Объект с группой симметрии C_n, C_nh, C_nv или S_2n имеет группу вращений C_n.
Объект с группой симметрии D_n, D_nh или D_nd имеет группу вращений D_n.
Объект с одной из семи других групп симметрии имеет группу вращений, соответствующую группе без индекса — T, O или I.

Группа вращений объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект хирален.

Список подгрупп вращения по их обозначениям Шёнфлиса, Шаблон:Не переведено 5, (Шаблон:Не переведено 5):

Отражение	Отражение/вращение	Шаблон:Не переведено 5	Вращение
C_nv, [n], (*nn)	C_nh, [n⁺,2], (n*)	S_2n, [2n⁺,2⁺], (n×)	C_n, [n]⁺, (nn)
D_nh, [2,n], (*n22)	D_nd, [2⁺,2n], (2*n)		D_n, [2,n]⁺, (n22)
T_d, [3,3], (*332)			T, [3,3]⁺, (332)
O_h, [4,3], (*432)	T_h, [3⁺,4], (3*2)		O, [4,3]⁺, (432)
I_h, [5,3], (*532)			I, [5,3]⁺, (532)

Соответствие групп вращений и других групп

Следующие группы содержат центральную симметрию:

C_nh и D_nh для чётных n
S_2n и D_nd для нечётных n (S₂ = C_i является группой, порождённой центральной симметрией; D_1d = C_2h)
T_h, O_h и I_h

Как объяснено выше, имеется 1-в-1 соответствие между этими группами и всеми группами вращений:

C_nh для чётных n и S_2n для нечётных n соответствуют C_n
D_nh для чётных n и D_nd для нечётных n соответствуют D_n
T_h, O_h, и I_h соответствуют T, O и I, соответственно.

Другие группы содержат косвенные изометрии, но не центральную симметрию:

C_nv
C_nh и D_nh для нечётных n
S_2n и D_nd для чётных n
T_d

Все они соответствуют группе вращений H и подгруппе L с индексом 2 в том смысле, что они получаются из H путём обращения изометрий в H \ L, как объяснено выше:

C_n является подгруппой D_n с индексом 2, что даёт C_nv
C_n является подгруппой C_2n с индексом 2, что даёт C_nh для нечётных n и S_2n для чётных
D_n является подгруппой D_2n с индексом 2, что даёт D_nh для нечётных n и D_nd для чётных
T является подгруппой of O с индексом 2, что даёт T_d

Максимальные симметрии

Существуют две дискретные точечные группы со свойством, что никакая дискретная точечная подгруппа не имеет их в качестве собственной подгруппы — O_h и I_h. Их наибольшая общая подгруппа — T_h. Две группы получаются из неё путём замены вращательной симметрии порядка 2 на симметрию порядка 4 и добавлением симметрии порядка 5 соответственно. Также можно получить две группы путём добавления зеркальных плоскостей в T_h.

Существует две кристаллографические точечные группы со свойством, что никакая кристаллографическая точечная группа не содержит их в качестве собственной подгруппы — O_h и D_6h. Их максимальные общие подгруппы, в зависимости от ориентации, — D_3d и D_2h.

Упорядочение групп по абстрактному типу группы

Далее описанные выше группы расположены по абстрактному типу группы.

Наименьшие абстрактные группы, не являющиеся группами симметрии в трёхмерном пространстве — группа кватернионов (порядка 8), Z₃ × Z₃ (порядка 9), дициклическая группа Dic₃ (порядка 12) и 10 из 14 групп порядка 16.

Столбец "Число элементов порядка 2" в последующей таблице показывает общее число подгрупп изометрии типа C₂, C_i, C_s. Это общее число является одной из характеристик, позволяющих различить абстрактные типы групп, в то время как их тип изометрии помогает различить группы изометрий той же самой абстрактной группы.

Среди возможных изометрий групп а трёхмерном пространстве существует бесконечно много абстрактных типов групп с 0, 1 и 3 элементами порядка 2, существует две группы с 2n + 1 элементами порядка 2 и существует три группы с 2n + 3 элементами порядка 2 (для любого n ≥ 2 ). Не существует положительного чётного числа элементов порядка 2.

Шаблон:Anchor

Группы симметрий в трёхмерном пространстве, являющиеся циклическими как абстрактные группы

Группа симметрии вращения порядка n — это C_n. Её тип абстрактной группы — циклическая группа Z_n, которая обозначается также как C_n. Однако существует ещё два бесконечных ряда групп симметрии с типами абстрактных групп:

Для чётного 2n существует группа Шаблон:Не переведено 5 (в обозначении Шёнфлиса), порождённая вращением на угол 180°/n вокруг оси, скомбинированным с отражением в плоскости, перпендикулярной оси. Для S₂ используется обозначение C_i, эта группа порождена центральной симметрией.
Для любого порядка 2n, где n нечётно, мы имеем C_nh. Группа имеет ось вращения порядка n и перпендикулярную зеркальную плоскость. Группа порождается вращением на угол 360°/n вокруг оси в комбинации с отражением. Для C_1h используется обозначение C_s, эта группа порождается отражением в плоскости.

Таким образом, выделяя жирным шрифтом 10 кристаллографических точечных групп, для которых применима Шаблон:Не переведено 5, мы имеем:

Порядок	Группы изометрии	Абстрактная группа	Число элементов порядка 2	Граф циклов
1	C₁	Z₁	0	Файл:GroupDiagramMiniC1.svg
2	C₂, C_i, C_s	Z₂	1	Файл:GroupDiagramMiniC2.svg
3	C₃	Z₃	0	Файл:GroupDiagramMiniC3.svg
4	C₄, S₄	Z₄	1	Файл:GroupDiagramMiniC4.svg
5	C₅	Z₅	0	Файл:GroupDiagramMiniC5.svg
6	C₆, S₆, C_3h	Z₆ = Z₃ × Z₂	1	Файл:GroupDiagramMiniC6.svg
7	C₇	Z₇	0	Файл:GroupDiagramMiniC7.svg
8	C₈, S₈	Z₈	1	Файл:GroupDiagramMiniC8.svg
9	C₉	Z₉	0	Файл:GroupDiagramMiniC9.svg
10	C₁₀, S₁₀, C_5h	Z₁₀ = Z₅ × Z₂	1	Файл:GroupDiagramMiniC10.svg

и т.д.

Группы симметрии в трёхмерном пространстве, диэдральные в качестве абстрактных групп

В двухмерном пространстве диэдрическая группа D_n включает отражения, которые можно рассматривать как переворачивание объекта без различения лицевой и обратной стороны.

Однако в трёхмерном пространстве две операции различны — группа симметрии с обозначением D_n содержит n осей порядка 2, перпендикулярных к осям порядка n, а не отражения. D_n является группой вращений n-сторонней призмы с правильным основанием, n-сторонней бипирамиды с правильным основанием, а также правильной n-сторонней антипризмы и правильного n-стороннего трапецоэдра. Группа является также полной группой симметрии таких объектов, если сделать их хиральными путём разметки граней или некоторой модификации фигуры.

Абстрактная группа является диэдрической группой Dih_n, которая обозначается также символом D_n. Однако существует ещё три группы симметрии с той же абстрактной группой:

C_nv порядка 2n, группа симметрии правильной n-сторонней пирамиды
D_nd порядка 4n, группа симметрии правильной n- сторонней антипризмы
D_nh порядка 4n для нечётных n. Для n = 1 мы получаем D₂, уже приведённую выше, так что n ≥ 3.

Заметьте следующее свойство:

Dih_4n+2 <math>\cong</math> Dih_2n+1 × Z₂

Таким образом, выделяя 12 кристаллографических групп жирным шрифтом и записывая D_1d как эквивалент C_2h, мы имеем:

Порядок	Группы изометрии	Абстрактная группа	Число элементов порядка 2	Граф циклов
4	D₂, C_2v, C_2h	Dih₂ = Z₂ × Z₂	3	Файл:GroupDiagramMiniD4.svg
6	D₃, C_3v	Dih₃	3	Файл:GroupDiagramMiniD6.svg
8	D₄, C_4v, D_2d	Dih₄	5	Файл:GroupDiagramMiniD8.svg
10	D₅, C_5v	Dih₅	5	Файл:GroupDiagramMiniD10.svg
12	D₆, C_6v, D_3d, D_3h	Dih₆ = Dih₃ × Z₂	7	Файл:GroupDiagramMiniD12.svg
14	D₇, C_7v	Dih₇	7	Файл:GroupDiagramMiniD14.svg
16	D₈, C_8v, D_4d	Dih₈	9	Файл:GroupDiagramMiniD16.svg
18	D₉, C_9v	Dih₉	9
20	D₁₀, C_10v, D_5h, D_5d	Dih₁₀ = D₅ × Z₂	11	Файл:GroupDiagramMiniD20.png

и т.д.

Другое

C_2n,h порядка 4n является абстрактной группой типа Z_2n × Z₂. Для n = 1 мы получаем Dih₂, группу, уже описанную выше, так что n ≥ 2.

Таким образом, выделяя 2 циклические кристаллографические точечные группы жирным шрифтом, мы имеем:

Порядок	Группы изометрии	Абстрактная группа	Число элементов порядка 2	Граф циклов
8	C_4h	Z₄ × Z₂	3	Файл:GroupDiagramMiniC2C4.svg
12	C_6h	Z₆ × Z₂ = Z₃ × Z₂² = Z₃ × Dih₂	3	Файл:GroupDiagramMiniC2C6.svg
16	C_8h	Z₈ × Z₂	3	Файл:GroupDiagramMiniC2C8.svg
20	C_10h	Z₁₀ × Z₂ = Z₅ × Z₂² = Z₅ × Dih₂	3	Файл:GroupDiagramMiniC2C10.png

и т.д.

D_nh порядка 4n является абстрактной группой типа Dih_n × Z₂. Для нечётных n группа уже описана выше, так что мы здесь имеем D_2nh порядка 8n, которая является абстрактной группой типа Dih_2n × Z₂ (n≥1).

Таким образом, выделяя 3 диэдральные кристаллографические точечные группы жирным шрифтом, мы имеем:

Порядок	Группы изометрии	Абстрактная группа	Число элементов порядка 2	Граф циклов
8	D_2h	Dih₂ × Z₂	7	Файл:GroupDiagramMiniC2x3.svg
16	D_4h	Dih₄ × Z₂	11	Файл:GroupDiagramMiniC2D8.svg
24	D_6h	Dih₆ × Z₂ = Dih₃ × Z₂²	15
32	D_8h	Dih₈ × Z₂	19

и т.д.

Осташиеся семь групп, где 5 кристаллографических точечных групп выделены жирным шрифтом:

Порядок	Группы изометрии	Абстрактная группа	Число элементов порядка 2	Граф циклов
12	T	A₄	3	Файл:GroupDiagramMiniA4.svg
24	T_d, O	S₄	6	Файл:Symmetric group 4; cycle graph.svg
24	T_h	A₄ × Z₂	6	Файл:GroupDiagramMiniA4xC2.png
48	O_h	S₄ × Z₂	6
60	I	A₅
120	I_h	A₅ × Z₂

Невозможные дискретные симметрии

Поскольку обзор является исчерпывающим, он показывает неявно, какие случаи невозможны в качестве дискретных групп симметрий. Например:

Ось C₆ в одном направлении и C₃ в другом
Ось C₅ в одном направлении и C₄ в другом
Ось C₃ в одном направлении и другая ось C₃ в перпендикулярном направлении

И т.д..

Бинарные полиэдральные группы

Отображение Spin(3) → SO(3) является двойным покрытием группы вращений спинорной группой в трёхмерном пространстве. (Это единственное связное покрытие SO(3), поскольку Spin(3) односвязна.) По Шаблон:Не переведено 5 существует соответствие Галуа между подгруппами Spin(3) и подгруппами SO(3) (точечными группами вращения) — образ подгруппы группы Spin(3) является точечной группой вращений, а прообраз точечной группы является подгруппой группы Spin(3).

Прообраз конечной точечной группы называется бинарной полиэдральной группой, обозначается как <l,n,m>, и называется тем же именем, что и точечная группа, но с добавлением бинарная, при этом порядок группы удваивается по отношению к связанной группе многогранника (l,m,n). Например, прообразом Шаблон:Не переведено 5 (2,3,5) является бинарная икосаэдральная группа, <2,3,5>.

Бинарные полиэдральные группы:

<math>A_n</math>: Бинарная циклическая группа (n + 1)-угольника, порядок 2n
<math>D_n</math>: Бинарная диэдральная группа n-угольника, <2,2,n>, порядок 4n
<math>E_6</math>: Бинарная тетраэдраэдральная группа, <2,3,3>, порядок 24
<math>E_7</math>: Шаблон:Не переведено 5, <2,3,4>, порядок 48
<math>E_8</math>: Бинарная икосаэдральная группа, <2,3,5>, порядок 120

Группы систематизированы согласно Шаблон:Не переведено 5 и факторгруппой C² по действию бинарной полиэдральной группы имеет Шаблон:Не переведено 5 ^[2].

Для точечных групп, обращающих ориентацию, ситуация сложнее, так как существует две Шаблон:Не переведено 5, так что имеется две возможные бинарные группы, соответствующие данной точечной группе.

Заметим, что это покрытие является покрытием групп, не покрытием пространств.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Refbegin

Шаблон:Refend

Ссылки

Graphic overview of the 32 crystallographic point groups – form the first parts (apart from skipping n=5) of the 7 infinite series and 5 of the 7 separate 3D point groups
The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions)

Шаблон:Rq

↑ под остью порядка n будем понимать ось вращения на угол 360°/n, такое вращение будем называть вращением порядка n.
↑ Du Val Singularities, by Igor Burban

[1] под остью порядка n будем понимать ось вращения на угол 360°/n, такое вращение будем называть вращением порядка n.

[2] Du Val Singularities, by Igor Burban

[1]

[2]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Точечная группа в трёхмерном пространстве

Содержание

Структура группы

Трёхмерные изометрии, оставляющие начало координат неподвижным

Сопряжённость

Бесконечные группы изометрии

Конечные группы изометрии

Семь бесконечных серий групп осевой симметрии

Семь оставшихся точечных групп

Связь между орбифолдной нотацией и порядком

Группы отражений Коксетера

Группы вращений

Соответствие групп вращений и других групп

Максимальные симметрии

Упорядочение групп по абстрактному типу группы

Группы симметрий в трёхмерном пространстве, являющиеся циклическими как абстрактные группы

Группы симметрии в трёхмерном пространстве, диэдральные в качестве абстрактных групп

Другое

Невозможные дискретные симметрии

Бинарные полиэдральные группы

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты