Русская Википедия:Точечная оценка

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Нет ссылок То́чечная оце́нка в математической статистике — это число, оцениваемое на основе наблюдений, предположительно близкое к оцениваемому параметру.

Определение

Пусть <math>X_1,\ldots,X_n,\ldots</math> — случайная выборка для распределения, зависящего от параметра <math>\theta \in \Theta</math>. Тогда статистику <math>\hat{\theta}(X_1,\ldots, X_n)</math>, принимающую значения в <math>\displaystyle\Theta</math>, называют точечной оценкой параметра <math>\theta</math>.

Замечание

Формально статистика <math>\hat{\theta}</math> может не иметь ничего общего с интересующим нас значением параметра <math>\theta</math>. Её полезность для получения практически приемлемых оценок вытекает из дополнительных свойств, которыми она обладает или не обладает.

Свойства точечных оценок

• Оценка <math>\hat{\theta}=\hat\theta(X)</math> называется несмещённой, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

<math>\mathbb{E}_\theta\left[\hat{\theta}\right] = \theta,\quad \forall \theta \in \Theta</math>,

где <math>\mathbb{E}_\theta</math> обозначает математическое ожидание в предположении, что <math>\theta</math> — истинное значение параметра (распределения выборки <math>X</math>).

• Оценка <math>\hat{\theta}</math> называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных несмещенных точечных оценок.
• Оценка <math>\hat{\theta}_n=\hat{\theta}_n(X_1,\dots,X_n)</math> называется состоятельной, если она с увеличением объема выборки n стремится по вероятности к параметру генеральной совокупности: <math>\forall \theta \in \Theta</math>,

<math>\hat{\theta}_n \to \theta</math> по вероятности при <math>n \to \infty</math>.

• Оценка <math>\hat{\theta}_n</math> называется сильно состоятельной, если <math>\forall \theta \in \Theta</math>,

<math>\hat{\theta}_n \to \theta</math> почти наверное при <math>n \to \infty</math>.

Надо отметить, что проверить на опыте сходимость «почти наверное» не представляется возможным, поэтому с точки зрения прикладной статистики имеет смысл говорить только о сходимости по вероятности.

См. также

• Интервальная оценка

Литература

• Шаблон:Книга