Русская Википедия:Точка Аполлония
Шаблон:Не путать Точка Аполлония Ap — специальная точка в треугольнике. Определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания 3 вневписанных окружностей треугольника с описанной вокруг них окружностью. Связана с задачей Аполлония. В Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
Пример применения точки Аполлония к решению задачи Аполлония
Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения точки Аполлония Ap[1][2].
- Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
- В рамках этой задачи окружностью Аполлония (не путать с окружностями Аполлония) называется окружность, которая касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зелёную окружность на рисунке).
Окружность Аполлония
Определение окружности Аполлония
- Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок)[3].
- Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность E, касающаяся трех данных окружностей EA, EB и EC внешним образом.
Радиус окружности Аполлония
Радиус окружности Аполлония равен <math>\frac{r^2+s^2}{4r}</math>, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника.[4]
Определение точки Аполлония Ap
- Точка Аполлония Ap или X(181) в энциклопедии центров треугольника, описанная в 1987-ом году, определяется следующим образом:
Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.
- Ее трилинейные координаты:
<math>\frac{a(b+c)^2}{b+c-a} : \frac{b(c+a)^2}{c+a-b} : \frac{c(a+b)^2}{a+b-c}</math>
Замечание
На рисунке указанная точка Аполлония Ap изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника ABC, опущенных из точек касаний A' , B' и C' с соответствующими вневписанными окружностями треугольника ABC, образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей EA, EB и EC. Хотя эта точка Ap лежит в точке пересечения трех отрезков AA' , BB' и CC' , но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника ABC являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония Ap совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.
Свойство
- Подерный треугольник точки Аполлония является равносторонним треугольником.
Трилинейные координаты
Трилинейные координаты точки Аполлония Ap:
<math>\frac{a(b+c)^2}{b+c-a} : \frac{b(c+a)^2}{c+a-b} : \frac{c(a+b)^2}{a+b-c}</math>
<math>=\sin^2 A \cos^2(\frac{B}{2}-\frac{C}{2}): \sin^2B\cos^2(\frac{C}{2}-\frac{A}{2}) : \sin^2C\cos^2(\frac{A}{2}-\frac{B}{2}).</math>
См. также
Примечания
